Ejercicios con transformada de lapeace

Joselito Lara!

Por lo que veo empleáis la t como variable de las funciones, entonces la respuesta del ejercicio anterior es

y = -1 + e^(2t)

Y ahora vamos con este.

En la teoría tendrás la fórmula de la transformada de las derivadas de la función, aplicándola tendremos

L{y'' + 4y} = L{9t}

s^2·L{y} - s·y(0) - y'(0) + 4·L(y) = 9/s^2

llamando z=L{y} tenemos

s^2·z - s·0 - 7 + 4z = 9/s^2

z(s^2+4)= 7+9/s^2

$$\begin{align}&z= \frac{7}{s^2+4}+\frac{9}{s^2(s^2+4)}\\ & \\ & \text{descompongamos la segunda en fracciones simples}\\ & \\ & \frac{9}{s^2(s^2+4)}=\frac{a}{s}+\frac{b}{s^2}+\frac{cs+d}{s^2+4}=\\ & \\ & \frac{as(s^2+4)+b(s^2+4)+(cs+d)s^2}{s^2(s^2+4)}\\ & \\ & \text {luego}\\ & \\ & 9 = as(s^2+4)+b(s^2+4)+(cs+d)s^2\\ & \\ & \text{para } \;s=0 \implies 9 =4b\implies b=\frac 94\\ & \text{por ser 0 el coeficiente de }s\implies 4a=0 \implies a=0\\ & \text{por ser 0 el de }s^3\implies a+c=0\implies c=0\\ & \text{por ser 0 el de }s^2\implies b+d=0\implies d=-\frac 94\\ & \\ & \text{luego}\\ & \\ & z= \frac{7}{s^2+4}+ \frac{9}{4}·\frac{1}{s^2}-\frac{9}{4}·\frac{1}{s^2+4}=\\ & \\ & \frac{19}{4}·\frac{1}{s^2+4}+\frac{9}{4}·\frac{1}{s^2}\\ & \\ & \text{y la inversa de la transformada es}\\ & \\ & y=\frac{19}4·\frac{sen\,2t}{2}+\frac 94t\\ &\\ &y =\frac{19sen\,2t+18t}{8}\end{align}$$

Y eso es todo.