Integración con reglas de sustitución

Cuando se hace un cambio de variable

t = f(x)

dt = f'(x) dx

Tan importante como hacer que quede algo fácil al cambiar f(x) por t, es conseguir que f '(x) esté en el integrando (salvo producto por una constante)

Entonces aquí tenemos una función coseno y una seno, si tomamos la t como la coseno tendremos

t = cos(2x)

dt = - 2·sen(2x) dx

Vemos que la diferencial de t la tenemos en el integrando, salvo por el factor -2 Entonces eso está muy bien y nos hace ver que el cambio es bueno.

$$\begin{align}&\int \cos^2(2x)·sen(2x)dx\\ & \\ & t=\cos(2x)\\ &dt = -2sen(2x)dx \implies sen(2x)dx=-\frac{dt}{2}\\ &\\ &\text {y sustituyendo al pie de la letra}\\ &\\ &\int t^2\left(-\frac{dt}{2}\right)=-\frac 12\int t^2dt = -\frac 12·\frac{t^3}{3}+C=\\ &\\ &-\frac{t^3}6+C = -\frac{\cos^3(2x)}{6}+C\end{align}$$

Y eso es todo.