Problema de convergencia 3...ayuda por favor!
Describe dos ejemplos de sucesiones de funciones, que converjan
puntualmente a una función f, pero que la convergencia no sea uniforme.
En cada ejemplo:
iii) Justifica bien la convergencia puntual.
1 Respuesta
Zankass Plancarte!
La sucesión de funciones primera era
f_n(x) = x^n en [0,1)
Lo que debemos comprobar para haya convergencia puntual es que dado un punto xo € D y dado
Un epsilon>0 existe un número natural m tal que para todo n>m se cumpla |f_n(xo) - 0| < epsilon
Si xo=0 ya está |0-0|=0 < epsilon
Si xo distinto de cero
|xo^m - 0 | = |xo^m| =
Como las funciones exponenciales de base positiva son siempre positivas
Xo^m < epsilon
Tomando logaritmos neperianos
m·Ln(xo) < ln(epsilon)
Como xo€(0,1) su logaritmo neperiano es negativo, luego al pasarlo al otro lado cambia el sentido de la desigualdad
m > ln(epsilon) / ln(xo)
Luego tomando el número m inmediatamente superior a ln(epsilon) / ln(xo) tendremos que si n>m
|xo^n - 0| = xo^n < xo^m < xo^[ln(epsilon) / ln(xo)] = (xo^[1/ln(xo)])^[ln(epsilon)] =
(xo^[ln(e)/ln(xo)])^[ln(epsilon)] =
Lo que tenemos ln(e) / ln(xo) es la expresión de un cambio de base para logaritmo en base xo de e
$$\begin{align}&log_{x_0}e = \frac{ln \;e}{ln \,x_o}\end{align}$$luego queda
= (xo^[log_xo(e)])^[ln(epsilon)] = e^[ln(epsilon)] = epsilon
En resumen
|Xo^n - 0| < epsilon para todo n > m > ln(epsilon) / ln(xo)
Luego fn(xo) converge a 0 y eso es así para todo xo € [0,1), luego hay convergencia puntual en dicho intervalo.
Mandaré esta parte para tomarme un respiro antes de hacerlo para la segunda función.
Y la segunda sucesión era
gn(x) = log_(n+1)(x) = ln(x) / ln(n+1) en el intervalo (0,oo)
Hay que hacer la misma historia del punto xo, el epsilón y encontrar el m.
$$\begin{align}&\left|\frac{ln\,x_0}{ln(m+1)} - 0\right| =\\ &\\ &\text {Como m+1}\ge2 \text{ su logaritmo es positivo}\\ &\\ &\frac 1{ln(m+1)} |ln\,x_0|\lt \epsilon\\ &\\ &\frac 1{ln(m+1)}\lt \frac{\epsilon}{|ln\,xo|}\\ &\\ &\text{si invertimos los números cambia la desigualdad}\\ &\\ &ln(m+1) \gt \frac{|ln\;x_o|}{\epsilon}\\ &\\ &e^{ln(m+1)} \gt e^{\frac{|ln\,x_0|}{\epsilon}}\\ &\\ &\text{creo que no se ve bien el exponente, usaré exp(x) como }e^{x}\\ &\\ &m+1 \gt exp\left(\frac{|ln(x_0)|}{\epsilon} \right)\\ &\\ &m \gt exp\left(\frac{|ln(x_0)|}{\epsilon} \right)-1\\ &\\ &\end{align}$$Y tomando un n mayor que ese m y haciendo diabluras como se hizo antes se llega a que
|gn(xo) - 0| < epsilon
Y por lo tanto hay convergencia puntual en (0, oo)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no te salen las diabluras dímelo.
