Demuestre que (a,b)~(a´,b´)a+b´=a´+b es una relación de equivalencia

Habrá que demostrar que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

i) Reflexiva:

(a,b)~(a,b) porque

a+b = a+b

y si a=a' y b=b' podemos hacer las sustituciones siguientes

a+b' = a'+b

ii) Simétrica

Si se cumple

(a,b)~(a',b') ==> a+b'=a'+b ==> a'+b=a+b' ==> (a',b')~(a,b)

iii) Transitiva

Sean (a,b), (a',b') y (a'',b'') tales que (a,b)~(a',b') y (a',b')~(a'',b'')

a+b'=a'+b

a'+b''=a''+b'

Sumamos miembro a miembro

a+b'+a'+b''=a'+b+a''+b'

podemos simplificar los sumandos a' y b' que aparecen en ambos lados y queda

a+b''=b+a'' ==> (a,b)~(a'',b'')