Operaciones con funciones complejas 4
Demuestre que la función f(z) = 1/z transforma un circulo con centro en el origen, en el plano xy en un circulo centrado en el origen en el plano uv
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Sea un punto
z = x + iy
la transformación es
$$\begin{align}&f(z)=\frac 1z=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\\ &\\ &u=\frac{x}{x^2+y^2}\\ &\\ &v= -\frac{y}{x^2+y^2}\end{align}$$Si los puntos z están en una circunferencia centrada en el origen cumplen
x^2 + y^2 = r^2
u = x/r^2
v = -y/r^2
veamos si esos puntos están en una circunferencia
u^2+v^2 = x^2 / r^4 + y^2 / r^4 = (x^2+y^2) / r^4 = r^2/r^4 = 1/r^2
u^2 + v^2 = (1/r)^2
Luego sí, están en una circunferencia de radio 1/r
Y eso es todo.
