Distribuciones de probabilidad bivariantes y multivariantes.

5.15)

A ver si me aclaro.

Y1 = Cola + ventanilla

Y2 = Cola

a) Los límites de integración son sencillos de calcular y2 entre 1 y 2, y1 entre y2 y 2

$$\begin{align}&P(Y_1 \lt 2,\;Y_2>1)=\int_{1}^{2}\int_{y_2}^2 e^{-y_1}dy_1dy_2=\\ &\int_1^2\left[ -e^{-y_1} \right]_{y_2}^2 dy_2 \\ &\\ &\\ &=\int_1^2(e^{-y_2}- e^{-2})dy_2=\\ &\left[  -e^{-y_2}-y_2e^{-2}\right]_1^2=\\ &\\ &\\ &-e^{-2}-2e^{-2}+ e^{-1}+e^{-2}=\\ &\\ &e^{-1}-2e^{-2} \approx0.1353352832\end{align}$$

b) Aquí los límites son Y2 entre 0 y +infinito, Y1 entre 2Y2 y+infinito

$$\begin{align}&P(Y_1 \ge 2Y_2)=\int_0^{+\infty}\int_{2y_2}^{+\infty}e^{-y_1}dy_1dy_2=\\ &\\ &\\ &\int_0^{+\infty}\left[ -e^{-y_1} \right]_{2y_2}^{+\infty}dy_2=\\ &\\ &\\ &\int_0^{+\infty}e^{-2y_2}dy_2=\\ &\\ &\\ &-\frac 12 \left[ e^{-2y_2} \right]_0^{+\infty}=\frac 12\end{align}$$

c) Aquí el limite para Y1 debe ser una unidad mayor que Y2

¡No sé que c... están haciendo con el editor de ecuaciones que no me deja escribir más que una línea cada vez, vaya desastre de página!

$$P(Y_1 \ge Y_2+1)= \int_0^{+\infty} \int_{1+y_2}^{+\infty} e^{-y_1}dy_1dy_2=$$

$$\begin{align}&\int_0^{+\infty}\left[ -e^{-y_1} \right]_{y_2+1}^{+\infty}dy_2 = \int_0^{+\infty}e^{-y_2-1}dy_2 =\\ &\\ &\\\\ &\\ &\left[  -e^{-y_2-1}\right]_0^{+\infty}= e^{-1}\approx 0.3678794412\end{align}$$

Y eso es todo.