Anónimo
Preguntas de gráfica de funciones
Quiero la gráfica de la siguiente función
log(2)[(2^z)+4]. Z<=2; Sea (2) la base; analiza esta función derivando y observas que siempre es decreciente; la segunda derivada es siempre es decreciente , ahora analiza la asíntota por la izquierda cuando z tiende al - infinito; entonces la gráfica tiende a ser 1. Como explicas este comportamiento o sea yo deduzco que en este intervalo de -oo hasta 2 la gráfica ,la gráfica tiende a crecer y ser cóncava hacia abajo; Según esa asíntota, entonces existe 2 posibilidades que sea creciente y cóncava hacia arriba o decreciente y cóncava hacia abajo, pero al evaluar en 2 nos da ordenada 3; con esto entonces decimos que debería ser creciente y cóncava hacia abajo, pero según los cálculos efectuados no llegamos a eso. Gráfica la función y explicame porque este comportamiento o corrígeme si me equivoque en los caculos de derivadas por favor. Saludos.
log(2)[(2^z)+4]. Z<=2; Sea (2) la base; analiza esta función derivando y observas que siempre es decreciente; la segunda derivada es siempre es decreciente , ahora analiza la asíntota por la izquierda cuando z tiende al - infinito; entonces la gráfica tiende a ser 1. Como explicas este comportamiento o sea yo deduzco que en este intervalo de -oo hasta 2 la gráfica ,la gráfica tiende a crecer y ser cóncava hacia abajo; Según esa asíntota, entonces existe 2 posibilidades que sea creciente y cóncava hacia arriba o decreciente y cóncava hacia abajo, pero al evaluar en 2 nos da ordenada 3; con esto entonces decimos que debería ser creciente y cóncava hacia abajo, pero según los cálculos efectuados no llegamos a eso. Gráfica la función y explicame porque este comportamiento o corrígeme si me equivoque en los caculos de derivadas por favor. Saludos.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Los programas de graficación no conocen de logaritmos en base dos, lo primero que haremos es usar la fórmula del cambio de base de logaritmos que dice
log(base a) de z = (log(base b) de z) / (log(base b) de a)
Por supuesto usaremos como base b los logaritmos neperianos ln porque son los únicos que me acuerdo como se derivan. Entonces:
log(2)[(2^z)+4] = ln[(2^z)+4] / ln(2)
Y eso si puede graficarse, aunque antes de hacerla ya notaba fallos en tu argumentación.
Decías que en -oo la gráfica tendía a 1 y en realidad tiende a 2
lim z --> -oo de log(2)[(2^z) + 4] = log(2)[0+4] = 2
Por otro lado hablas constantemente de derivadas decrecientes, pero no es así
f '(z) = [1/ln(2)]· (2^z)·ln(2) /[(2^z)+4) = (2^z) / [(2^z)+4]
Y esto es siempre positivo, luego f es siempre creciente
f ''(z) = {(2^z)ln(2)[(2^z)+4] - (2^z)(2^z)ln(2)} / [(2^z)+4]^2 =
4(2^z)·ln(2) / [(2^z)+4]^2
Lo cual también es siempre positivo y por lo tanto la derivada es siempre creciente y la función es cóncava con forma de U (o media U) que prefiero llamarla yo. No sé si eso es lo que llamas cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba pero la gráfica te dice cuál de ellas es.
Y eso es todo.
log(base a) de z = (log(base b) de z) / (log(base b) de a)
Por supuesto usaremos como base b los logaritmos neperianos ln porque son los únicos que me acuerdo como se derivan. Entonces:
log(2)[(2^z)+4] = ln[(2^z)+4] / ln(2)
Y eso si puede graficarse, aunque antes de hacerla ya notaba fallos en tu argumentación.
Decías que en -oo la gráfica tendía a 1 y en realidad tiende a 2lim z --> -oo de log(2)[(2^z) + 4] = log(2)[0+4] = 2
Por otro lado hablas constantemente de derivadas decrecientes, pero no es así
f '(z) = [1/ln(2)]· (2^z)·ln(2) /[(2^z)+4) = (2^z) / [(2^z)+4]
Y esto es siempre positivo, luego f es siempre creciente
f ''(z) = {(2^z)ln(2)[(2^z)+4] - (2^z)(2^z)ln(2)} / [(2^z)+4]^2 =
4(2^z)·ln(2) / [(2^z)+4]^2
Lo cual también es siempre positivo y por lo tanto la derivada es siempre creciente y la función es cóncava con forma de U (o media U) que prefiero llamarla yo. No sé si eso es lo que llamas cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba pero la gráfica te dice cuál de ellas es.
Y eso es todo.
Gracias por la aclaración, también me di cuenta en que me equivoque en un signo que desvía por completo a la solución del problema.
Saludos.
Saludos.