¿Cómo calulo una probabilidad de una diferencia?

Para esto existe una fórmula.

$$\begin{align}&P(\overline X-\overline Y\le d)=P(Z\le \frac{d-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}})=\\ &\\ &\text{Como las medias y número de muestras son iguales}\\ &\\ &P(Z\le \frac{d}{\sqrt{\frac{2\sigma^2}{n}}})=P(Z\le \frac{d}{\sigma}\sqrt{\frac n2})\\ &\end{align}$$

Donde Z es la N(0,1)

Para obtener la probabilidad entre 3.8 y 4.5 a la de 4.5 restaremos la de 3.8. Pero con eso solo estaríamos calculando que una media sea mayor que la otra, también puede ser la otra la mayor. Como ambas muestras tienen idénticas características las probabilidades de mayor o menor son iguales, bastaría con multiplicar por 2 lo obtenido en primera instancia

$$\begin{align}&P(3.8\le\overline X-\overline Y\le 4.5)=\\ &\\ &P(Z\le \frac{4.5}{5}\sqrt{\frac {50}{2}})-P(Z\le \frac{3.8}{5}5)=\\ &\\ &\\ &P(Z\le 4.5)-P(Z\le 3.8)\end{align}$$

Ambas son probabilidades muy próximas a 1. Las tablas terminan en 3.49, luego con ellas no se puede calcular. Lo haré con Excel

=0,999996602-0,999927652=0.00006895

Y la multiplicamos por 2 para los casos donde la media de la otra bolsa sea mayor que la que lo era ahora

P= 0.000137901

Y eso es todo.