Demuestre la siguiente suma de la siguiente serie
Demuestre que: la serie de n=1 a infinito de [ ( (n+1) - (-1)^n ) / 2] * x^n es igual a 2x / (1-x)(1-x^2)
1 respuesta
Me asalta la duda de cuál de estas dos expresiones has querido decir
$$\begin{align}&1)\quad\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1-(-1)^n}{2}\right)x^n\\ &\\ &2) \quad\sum_{n=1}^{\infty} \left(n+1-\frac{(-1)^n}{2}\right)x^n\end{align}$$Dime cuál de las dos es, por favor. De esta materia no ando sobrado y prefiero estar seguro del enunciado.
¡La número 1!
Perdona, lo habías escrito perfecto para que fuese la número 1, fui yo el que no me fijé en todo y tuve la duda.
Descompongamos en fracciones simples el resultado
Veamos que el denominador es
(1-x)(1-x^2) = (1-x)(1+x)(1-x) = (1+x)(1-x)^2
Entonces la descomposición es
$$\begin{align}&\frac{2x}{(1+x)(1-x)^2}=\frac{a}{1+x}+\frac{b}{1-x}+\frac{c}{(1-x)^2}=\\ &\\ &\frac{a(1-x)^2+b(1+x)(1-x)+c(1+x)}{(1+x)(1-x)^2}\\ &\\ &\\ &\text{Los numeradores deben ser iguales}\\ &2x = a(1-x)^2+b(1+x)(1-x)+c(1+x)\\ &\\ &Para\; x=1\\ &2=c(1+1)\\ &c=1\\ &\\ &Para\;x=-1\\ &-2=4a\\ &a=-\frac 12\\ &\\ &Para\; x=0\\ &0 = -\frac 12+b + 1\\ &\\ &b=-\frac 12\\ &\\ &Luego\;tenemos\\ &\\ &\frac{2x}{(1+x)(1-x)^2}=\frac{-\frac 12}{1+x}+\frac{-\frac 12}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2} =\\ &\\ &\text{aplicando la suma de series geométricas}\\ &\\ &-\frac 12\sum_{n=0}^{\infty}[(-x)^n+x^n] +\frac{d \left(\frac{1}{1-x}\right)}{dx}=\\ &\\ &-\frac 12 \sum_{n=0}^{\infty}[(-x)^n+x^n]+\frac{d(\sum_{n=0}^{\infty}x^n)}{dx}=\\ &\\ &-\frac 12 \sum_{n=0}^{\infty}[(-x)^n+x^n]+\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\\ &\\ &-\frac{1}{2}-\frac 12-\frac 12 \sum_{n=1}^{\infty}[(-x)^n+x^n]+\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\\ &\\ &-1-\frac 12 \sum_{n=1}^{\infty}[(-x)^n+x^n]+1x^{1-1}+\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)x^n=\\ &\\ &-\frac 12 \sum_{n=1}^{\infty}[(-x)^n+x^n]+\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)x^n=\\ &\\ &\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+1-\frac 12-\frac{(-1)^n}{2} \right)x^n=\\ &\\ &\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1-(-1)^n}{2} \right)x^n\\ &\end{align}$$Pues como puedes ver no me sale lo que dicen, pero puedo haberme equivocado, son operaciones que se puede liar uno. Ahora tengo que dejar el ordenador unas horas. Si acaso mira a ver si el enunciado era correcto y si ves algún fallo que haya cometido me lo dices.
Tal vez haya hecho el problema al revés. Influido por la descomposición de funciones racionales que se hace los problemas de la transformada de Fourier y de integrales, que de esos he hecho unos cuantos. Vamos a hacerlos como sería lo normal, a partir de la parte izquierda llegar a la parte derecha de la igualdad.
Empezamos de nuevo:
$$\begin{align}&\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1-(-1)^n}{2}\right)x^n=\\ &\\ &\\ &\frac 12\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)x^n -\frac 12\sum_{n=1}^{\infty}(-x)^n=\\ &\\ &\\ &\frac 12\sum_{n=2}^{\infty}nx^{n-1}-\frac 12\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n +\frac 12 =\\ &\\ &\\ &\frac 12\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}-0-\frac 12-\frac 12· \frac{1}{1+x}+\frac 12=\\ &\\ &\frac 12\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)^´-\frac{1}{2(1+x)}=\\ &\\ &\\ &\frac 12\left(\frac{1}{1-x} \right)^´ -\frac{1}{2(1+x)}=\\ &\\ &\\ &\frac 12·\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{2(1+x)}=\\ &\\ &\frac 12\left(\frac{1}{(1-x)^2}-\frac 1{1+x} \right)=\\ &\\ &\frac 12\left(\frac{1+x-(1-x)^2}{(1-x)^2(1+x)} \right)=\\ &\\ &\frac 12\left(\frac{1+x-1+2x-x^2}{(1-x)(1-x)(1+x)} \right)=\\ &\\ &\frac 12 \left(\frac{3x-x^2}{(1-x)(1-x^2)} \right)\end{align}$$Pues así tampoco.
Estoy seguro de que el enunciado no es correcto.
