Ejercicio de matemática 2

Tenemos que hallar el módulo y el ángulo de Z

Z tiene negativa la componente en el eje X y negativa en el eje Y, luego está en el tercer cuadrante. El ángulo se calcula como el arco cuya tangente es la parte imaginaria entre la real.

Si z= a+bi entonces

ángulo = arctg(b/a)

Luego para z=-3-3i

ángulo = arctg (-3/-3) = arctg(1) = 45º o pi/4

Pero lo que sucede es que la función arctg(x) toma valores entre - Pi/2 y Pi/2, mientras que Z esta en el tercer cuadrante cuyos valores están entre Pi y 3Pi/2. El ángulo del tercer cuadrante con tangente = 1 es 5Pi/4 o para aclararnos mejor 225º

Y el modulo de Z es

|Z| = sqrt(3^2+3^2) = sqrt(2·3^2) = 3sqrt(2)

Luego en forma polar y trigonométrica es:

$$\text{Polar:}\\ 3 \sqrt 2_{\;225º} \;\;o\;\;3 \sqrt 2_{\;5\pi/4}\\  \\ \\ \text{Trigonométrica:}\\ 3 \sqrt 2(\cos 225º+ i·sen 225º)\\ o\\ 3 \sqrt 2\left(\cos \frac{5\pi}{4}+i·sen \frac{5\pi}{4}  \right)$$

La formula de Moivre dice:

$$\begin{align}&[r(\cos \alpha+i\,sen\,\alpha)]^n= r^n(\cos n\alpha+isen\,n\alpha)\\ &\\ &[3 \sqrt 2(\cos 225º+ i·sen 225º)]^{10}=\\ &\\ &(3 \sqrt 2)^{10}(\cos 2250º + isen 2250º)=\\ &\\ &Como \;2250º - 6·360º = 90º \;tenemos\\ &\\ &3^{10}2^5(\cos 90º+isen\,90º)= 1889568i\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.