Análisis Matemático 1, ejercicios
sea a que pertenece a los reales, a>0 se define A= ( a/n: n pertenece a los naturales), probar que Inf A=0. .....
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
0 es una cota inferior para ese conjunto ya que todos esos cocientes son números positivos por se positivos numerador y denominador.
Como el ínfimo es la mayor cota inferior será
inf A >= 0
Supongamos que el ínfimo es b con b>0
La idea es encontrar un n tal que a/n < b o lo que es lo mismo
n > a/b
Y ese n existe por la propiedad arquimediana, luego para ese n tendremos el elemento
a/n € A con a/n< b lo cual contradice que b sea el infímo de A. Luego el ínfimo no puede ser un número mayor que 0 y como menor tampoco puede serlo por el principio de tricotomía tendrá que ser 0.
Y eso es todo.
