Una mas de funciones hiperbólicas
Considerando la función tanh (x) demuestre que:
tanh^-1 x0 1/2Ln((1+x)/1-x))
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Partimos de la función y=f(x) y tenemos que llegar a x=f^-1(y)
$$\begin{align}&y= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\ &\\ &\text {multiplicando y dividiendo por }e^x\\ &\\ &y = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\\ &\\ &ye^{2x}+y = e^{2x}-1\\ &\\ &ye^{2x}-e^{2x}=-1-y\\ &\\ &e^{2x}(y-1)= -(1+y)\\ &\\ &e^{2x} = -\frac{1+y}{y-1} = \frac{1+y}{1-y}\\ &\\ &\text{extraemos logaritmos neperianos}\\ &\\ &2x = ln\left( \frac{1+y}{1-y} \right)\\ &\\ &x = \frac 12 ln\left( \frac{1+y}{1-y} \right)\\ &\end{align}$$Y una vez llegado aquí lo que se hace es cambiar la variable y por la variable x en la derecha y en la izquierda se pone la función inversa
$$\begin{align}&tanh^{-1}(x) = \frac 12 ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right)\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
La verdad aun no me queda muy claro el ultimo paso, ¿puedes ampliar para entender que sucede? Por favor.
El ultimo paso es puramente teórico
Tenemos un función y de x que se supone admite inversa
y = f(x)
de donde se deduce aplicando la función inversa
f^-1(y) = x
entonces cuando nosotros hemos resuelto la ecuación en x dejando
x = g(y)
tenemos que igualando la x nos queda
f^-1(y) = g(y)
y cambiando el nombre a la variable tenemos
f^-1(x) = g(x)
Eso es lo que he hecho pensando que lo conocerías por tu teoría.
Y eso es todo.
