Ejercicio 8b pagina 119

a) Es muy sencillo, basta hacer las operaciones.

$$\begin{align}&\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{xy}=\\ &\\ &\\ &\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2}{xy}=\\ &\\ &\\ &\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{4xy}{xy}=\\ &\\ &\\ &\lim_{(x,y)\to (0,0)}4 = 4\end{align}$$

b)

Sabemos que el lim x-->0 senx / x = 1

Donde x podemos sustituirlo por una función que tiende a cero

Vamos a multiplicar y dividir por x para que el argumento del seno aparezca en el denominador

$$\begin{align}&\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{sen\, xy}{y}=\\ &\\ &\lim_{(x,y)\to (0,0)}x·\frac{sen\,xy}{xy}=\\ &\\ &\\ &\lim_{(x,y)\to (0,0)}x·\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{sen\,xy}{xy}=\\ &\\ &\\ &0·\lim_{xy\to 0}\frac{sen \,xy}{xy}= 0·1 = 0\end{align}$$

Y eso es todo.