La integral de una función x
Halla el volumen
generado al girar la región acotada por las curvas dadas alrededor del eje y
de:
Y= 1/x, y=0,
x=1, x=2
Realiza un
bosquejo de la región calculada
Saludos
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Hagamos la gráfica.
En color la zona que genera el volumen al girar alrededor del eje Y. Dividida en dos trozos ya que sus funciones límite son distintas al girar sobre Y.
Se debe poner todo en función de y.
La función será
x=1/y
Los límites en y serán 0 y 0.5 para la primera integral y 0.5 y 1 para la segunda.
Y el volumen será
$$\begin{align}&V=\pi\int_0^{1/2}(2^2-1^2)dy+\pi\int_{1/2}^1\left[\left(\frac 1y\right)^2-1^2\right]dy=\\ &\\ &\\ &\pi\int_0^{1/2}3dy +\pi\int_{1/2}^1 \left(\frac{1}{y^2}-1\right)dy=\\ &\\ &\\ &\pi·\left.3x \right|_0^{1/2}+\pi\left[-\frac 1y-x \right]_{1/2}^1=\\ &\\ &\\ &\pi\left(\frac 32-1-1+\frac{1}{\frac 12}+\frac 12 \right)=\\ &\\ &\\ &\pi\left(\frac 32-1-1+2+\frac 12 \right)= 2\pi\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
