Sabiendo derivar encontremos

$$\begin{align}&tg\,\alpha+ctg\,\alpha= \frac{sen\,\alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos\alpha}{sen\, \alpha}= \\ &\\ &\frac{sen^2 \alpha+\cos^2\alpha}{sen\,\alpha·\cos \alpha}= \frac{1}{sen\,\alpha·\cos \alpha}\\ &\\ &\\ &\text{Y por otro lado}\\ &sec\,\alpha·csc\, \alpha=\frac{1}{\cos \alpha}·\frac{1}{sen\,\alpha}= \frac{1}{sen\,\alpha·\cos \alpha}\end{align}$$

Luego sa da la igualdad.

En el segundo vamos a desarrollar la parte derecha

$$\begin{align}&\cos^2a+ ctg\,a·\cos a=\\ &\\ &\cos^2a+ \frac{\cos a}{sen\,a}·\cos a=\\ &\\ &\frac{sen\,a·\cos^2a+\cos^2a}{sen\,a}\end{align}$$

Y eso no va a ser nunca igual a la cotangente al cuadrado, vamos a comprobarlo

$$\begin{align}&\frac{sen\,a·\cos^2a+\cos^2a}{sen\,a} = \frac{\cos^2a}{sen^2a}\\ &\\ &\frac{sena+1}{sena}= \frac{1}{sen^2a}\\ &\\ &sen\,a +1= \frac{1}{sen\,a}\\ &\\ &sen^2a + sena = 1\\ &\\ &sena = 1 -sen^2a\\ &\\ &sena = \cos^2a\end{align}$$

Y hemos llegado a un absurdo, luego la identidad es falsa.

Revisa el enunciado por si acaso.

Hola, fijate que si esta mal el enunciado, el correcto es este:

cotg^2 a= cos^2 a + (cotg a cos a)^2 falto el cuadrado para comprobar la identidad

Saludos.