Resuelva la siguiente integral definida
Integral de 0 a 0,2 de [1 / (1+x^4) ] dx
Intenté aplicar la fórmula de integración: integral de [ 1 / (1+ x^2)] es igual a arctg(x) pero no pude...
1 Respuesta
Esta integral es de la s racionales con raíces complejas. Hace mucho que no las hago.
De momento te ayudo por si te sirve pero dentro de nada tengo que dejar el ordenador.
Para calcular las raíces
1+x^4 = 0
x^4=-1
Y las raíces cuadradas de -1 son los números complejos de módulo 1 y ángulos 45º, 135º, 225º y 315º que son
$$\pm \frac{\sqrt 2}{2}\pm \frac{\sqrt 2}{2}i$$Si haces el producto de los monomios con las raíces te da
$$\left(\left(x-\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+\frac 12\right)\left(\left(x+\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+\frac 12\right)$$A partir de esa factorización se usaría el método de descomponer en suma de fracciones simples, los numeradores de esas fracciones simples serían ax+b en una y cx+d en la otra. No es una tarea cómoda pero esa es la forma.
De momento tengo que dejarlo. Si no te sale ya me lo dirás.
Esa factorización también puede ponerse como
$$(x^2-\sqrt 2 \;x+1)(x^2+\sqrt 2\;x+1)$$
Así es más útil para hacer algunas operaciones aunque para hacer la integral es más útil la forma primera
La descomposición en fracciones simples es
$$\begin{align}&\frac{1}{x^4+1}=\frac{ax+b}{(x^2-\sqrt 2 \;x+1)}+\frac{cx+d}{(x^2+\sqrt 2\;x+1)}=\\ &\\ &\\ &\frac{(ax+b)(x^2+\sqrt 2 \;x+1)+(cx+d)(x^2-\sqrt 2\;x+1)}{(x^2-\sqrt 2 \;x+1)(x^2+\sqrt 2\;x+1)}=\\ &\\ &\\ &\frac{(a+c)x^3+(a \sqrt 2+b-c \sqrt 2+d)x^2+(a+b \sqrt 2+c-d \sqrt 2)x+b+d}{1+x^4}\\ &\\ &\text{El numerador debe ser 1, luego}\\ &1)\quad a+c=0\\ &2)\quad a \sqrt 2+b-c \sqrt 2+d=0\\ &3)\quad a+b \sqrt 2+c-d \sqrt 2=0\\ &4)\quad b+d=1\\ &\\ &\\ &1)\quad a+c=0 \implies a=-c\\ &2)\quad a \sqrt 2-c \sqrt 2+1=0\\ &3)\quad b \sqrt 2-d \sqrt 2=0\\ &4)\quad b+d=1 \implies b=1-d\\ &\\ &\\ &2)\quad -c \sqrt 2- c \sqrt 2+ 1=0\implies \\ &c=\frac{1}{2 \sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{4}\\ &\\ &a=-\frac{\sqrt 2}{4}\\ &\\ &3)\quad (1-d)\sqrt 2-d \sqrt 2=0 \implies\\ &d = \frac 12\\ &\\ &b=1-\frac 12=\frac 12\\ &\\ &\\ &\int \frac{dx}{1+x^4}=\frac 14\int \frac{-\sqrt 2 x+2}{x^2-\sqrt 2 \,x+1}dx+\frac 14\int \frac{\sqrt 2 x+2}{x^2+\sqrt 2 \,x+1}dx\end{align}$$Y esto es bastante pesado de integrar, cada una de las dos se divide en un logaritmo neperiano y un arcotangente pero lleva su trabajo. Si quieres hazlo. El resultado es este
SI lo que te interesa es el resultado es este:
0.19993605682595
Y eso es todo.
