Cambio de variable ajacobiano

Todo numerador, denominador o exponente que este compuesto de operaciones tiene que ir OBLIGATORIAMENTE entre paréntesis.

u= x-y

v=x+y

u+v = 2x

x = (v+u) / 2

u-v=2y

y = (u-v) / 2

La integral sin cambio es

$$\begin{align}&\int_1^2\int_0^{x-1}\frac{x+y}{x-y}dydx=\\ &\end{align}$$

El jacobiano de la transformación es

$$\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\
\\
\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac 12&\frac 12\\
\frac 12&-\frac 12
\end{vmatrix}=\left|-\frac 14-\frac 14\right|=\frac 12$$

Y solo nos falta calcular los límites de u y v. Veamos en que puntos se transforman los vértices del triángulo. Los vértices en el sistema xy eran

(1,0), (3,0), (3,2)

Que en el sistema uv serán

(1+0, 1-0) = (1,1)

(3+0, 3-0) = (3,3)

(3+2, 3-2) = (5,1)

Si lo dibujas verás que es un triángulo con base 4 entre (1,1) y (5,1). El punto (3,3) esta justo en el centro y a altura 2 sobre la base, eso hace que los catetos sean de 45º y arriba sea recto. Habrá que dividir en dos trozos el triangulo y calcular las rectas

(1,1) a (3,3) es la recta v=u

(3,3) a (5,1) es la recta v=-u +6

$$\begin{align}&=\int_1^3\int_1^u \frac uv·\frac 12dv\,du+\int_3^5\int_1^{-u+6}\frac uv·\frac 12dv\,du=\\ &\\ &\frac 12\left( \int_1^3\left.u·ln\,v\right|_1^u du+\int_3^5 \left.u·ln\,v\right|_1^{-u+6}du\right)=\\ &\\ &\frac 12\left(\int_1^3 u·ln\,u\;du+\int_3^5u·ln(-u+6)du  \right)=\end{align}$$

Uff. esto es un poco pesado para hacer aquí y no tengo tiempo. Además que me han quitado las letras u y v que son las que se usan normalmente para hacer las integrales por partes, lo que faltaba.

¿Puedes continuar tú ahora? Si no, dímelo.

He comprobado que la respuesta que se obtiene es justamente la que dicen.

Bien, logre comprender algo, lo único es que no sé cómo hizo para

hallar los límites de la integral de [1 a 2 y de 0 a x-1]

Porque primero hice mi gráfica de las regiones
R:{y=x-1; y=0; x=3

Hallo esa gráfica del triángulo, realizo mis cambios de variable en X y Y
u= x-y
v=x+y

u+v = 2x
x = (v+u) / 2

u-v=2y
y = (u-v) / 2 --------> este seria el cambio

Luego igualo x=0
y=0
y=x-1

Al hallar eso encuentro mi gráfica de la TRANSFORMACIÓN

Es en esa transformación es donde me pierdo ya que mi profesor

halla la gráfica de (u, v), para así hallar los límites de la integral

Los límites se obtienen a partir del dibujo. La región entre las rectas.

y=x-1

y=0

x=3

es un triangulo de vértices (1,0) (3,0) y (3,2)

Por eso para calcular el dominio ponemos en x ponemos límites de 1 a 3, y en y ponemos límites entre la función 0 y la función x-1

El cambio de variable

u = x+y

v = x-y

Es lineal, por eso transforma rectas en rectas, como el dominio en xy son tres rectas, en uv también serán tres rectas. Y la forma de obtenerlas es calculando la imagen de los tres vértices, las rectas nuevas serán las que unan la imagen de los vértices.

Y la imagen de los vértices es sencilla de calcular tal como hice antes. De esas imagen obtienes el triángulo que es el dominio en uv y hallas las ecuaciones de las rectas que sean necesarias. Yo he integrado dejando fijos los valores de u y por eso he tenido que dividir la integral en dos trozos. Pero ahora que lo veo, se podría integrar primero respecto de u y luego v y se haría con una sola integral.

Lo único que ahora los limites fijos serán los de v que son entre 1 y 3 y las rectas hay que ponerlas en función de v

la v=u se queda en u=v

la v=-u+6 se queda en u=6-v

$$\begin{align}&\frac 12\int_1^3\int_v^{6-v}\frac uv dudv=\\ &\\ &\\ &\frac 12\int_1^3 \left.\frac{u^2}{2v}\right|_v^{6-v}dv =\\ &\\ &\frac 14\int_1^3 \frac{36+v^2-12v-v^2}{v}dv=\\ &\\ &\frac 14\int_1^3 \left(\frac {36}v-12\right)dv=\\ &\\ &\frac 14 \left[36 ln\,v-12v  \right]_1^3=\\ &\\ &\frac 14\left(36 ln 3-36 -36 ln 1+12  \right)=\\ &\\ &\frac 14(36ln3-24)=\\ &\\ &9 ln3 -6\end{align}$$

Es increíble lo que puede cambiar la dificultad si se integra primero respecto de una o de otra variable, asi ha sido muchísimo más fácil.

Y eso es todo, ahora ya lo tienes resuelto completamente. Si necesitas alguna explicación pídemela.

Prof pero como hizo para hallar esto:

porque yo intente realizarlo de esta manera:

x=o => (v+u)/2=0

=v+u=0

v=-u

y=o => (u-v)/2=0
=v-u=0
v=u

y=x-1 =>(u-v)/2=(v+u)/2-1

v=1

pero no se de donde sale v=6-u

solo necesito esa aclaración para realizar la segunda gráfica de la transformación uv

porque en la primera gráfica es donde me da los vértices (1,0), (3,0), (3,2)

la v=u se queda en u=v
la v=-u+6 se queda en u=6-v

Muchísimas gracias.

Esta esa la imagen del dominio respecto a los ejes XY

La transformación

u = x+y

v = x-y

Es una transformación lineal de R2 en R2, su matriz sería

1 1

1 -1

Y por ser líneal transforma rectas en rectas. Hallando la transformavión de los tres vértices del triángulo hallaremos los punto s de intersección de las tres rectas transformadas y con ello las rectas. Eso es lo que he hecho antes.

Pero eso puede que no te dejen usarlo o no lo veas claro. Entonces se puede usar el método general que sirve para transformaciones lineales y no lineales. Vamos a transformar una a una las tres rectas

La recta y=0 tiene los puntos de la forma (t, 0) para todo t€R

La tansformación nos dará estos puntos

u=t+0

v=t-0

luego en el sistema de ejes UV la erecta transformada es

u=v

La recta x=3 tiene los puntos de la forma (3,t) para todo t€R

con el cambio de variable queda

u = 3+t ==> t= u-3

v = 3 -t ==> t = 3-v

luego

u-3 = 3-v

v = 6-u

La recta y=x-1 tiene puntos de la forma (t, t-1) para todo t€R

Con el cambio de variable se transforma en

u = t+t-1 = 2t -1

v = t-(t-1) = 1

Vemos que en u puede tomar tomar cualquier valor mientras en v es siempre 1, eso es una recta horizontal de ecuación

v=1

Perdona, se mando sola la respuesta, luego termino toda la explicación.

Muchísimas gracias, es allí donde justamente no lograba entender, ya que mi transformación donde estaba cometiendo el error era en x=3 y yo la igualaba en x=0

Entonces mi gráfica de la transformación (u,v) quedaria asi:

<a>http://es.tinypic.com/usermedia.php?uo=adkBqYNLltsWVJMXvWElhoh4l5k2TGxc#.U5XVWyjWnOc</a>

para luego llegar a mi integral.

Gracias muchísimas gracias. Igualmente profesor Saludos. DLbendiga.

Y este es el dominio respecto los ejes UV.

En la primera respuesta que te di seguí mi costumbre (costumbre general) de poner fijos los límites de u entre 1 y 5 y en el v poner como límites superiores las funciones de la recta roja y la azul y como inferiores la recta verde. Eso hacía que fueran dos integrales y como se vio eran complicadas.

Por eso en la segunda respuesta lo intente al revés, poniendo como fijos los límites en el eje v que van de 1 a 3 y en el eje u integrar entre las rectas roja y azul. Pero para integrar de esa forma hay que expresar la u como función de v. Luego las rectas roja y azul las ponemos así para que el miembro derecho sean los límites de integración.

u=v

u=6-v

Y el resto ya se hizo.