Integral de linea aplicando el teorema de Green

El teorema de Green dice:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

$$\int_{C+}L\,dx+M\,dy=\int_{D}\left(\frac{\partial M}{\partial x}- \frac{\partial L}{\partial y}  \right)dA$$

Luego si llamáramos P al perímetro del tríangulo recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj y T a su interior. Y llamamos L(x,y) = -xy , M(x,y)=y tendremos

$$\begin{align}&\int_{P}XY\,dx+Y\,dy=\int_{T}\left(\frac{\partial (-xy)}{\partial x}- \frac{\partial (y)}{\partial y}  \right)dA =\\ &\\ &\int_{T}(-y-1)dA=\end{align}$$

Vamos a ver cuál es el dominio de esta integral doble

Si dibujamos el triangulo vemos que es un triangulo rectángulo con catetos en los dos ejes positivos y la hipotenusa va desde (0,1) a (1,0)

podemos definir el dominio como [0,1] en x y como [1-x, 0] en y

$$\begin{align}&\int_0^1\int_0^{1-x}(-y-1)dydx=\\ &\\ &\\ &\int_0^1\left[-\frac{y^2}{2}-y  \right]_0^{1-x}dx=\\ &\\ &\int_0^1\left(-\frac{(1-x)^2}{2}-(1-x)  \right)dx=\\ &\\ &\int_0^1 \left(-\frac 12-\frac{x^2}{2}+x-1+x  \right)dx=\\ &\\ &\int_0^1 \left(-\frac{x^2}{2}+2x-\frac 32  \right)dx=\\ &\\ &\left[-\frac{x^3}{6}+x^2-\frac{3x}{2} \right]_0^1= -\frac 16+1-\frac 32=\\ &\\ &\frac{-1+6-9}{6}= \frac{-4}{6}=-\frac 23\end{align}$$

Y eso es todo.