Ejercicio de reparametrización de curvas

Desde luego que el enunciado impresiona.

f: [-1, 1] ----> R^2

f(t) = (t^3-3t, t^2+4t)

Determine una función phi: [-2, 2] ---->[-1,1] sobreyectiva y de clase C1 tal que

f o phi: [-2,2]--->R^2

Sea un camino que empiece en el punto f(-1) = (2,-3), vaya al punto f(1) = (-2, 5) durante los primeros 2 segundos y regrese a f(-1) durante los 2 siguientes. ¿Es F = f o phi una reparametrización de f?

Hagamos como en los ejemplos de las páginas 462-463

La velocidad es la misma ya que se recorre el camino f en dos segundos. El libro propone la función

phi: [0,(b-a)/k] --->[a,b]

phi(s)=ks+a

donde k es la velocidad respecto a f

sustituyendo los datos de nuestro ejercicio sería nuestro ejercicio sería

phi: [0,2] --->[-1, 1]

phi(s) = s - 1

pero aquí nos piden que el camino lo haga entre -2 y 0

Si a s le restamos 2 sumaremos 2 a la constante para que phi(s) tome los mismos valores

phi: [-2, 0] ---->[-1, 1]

phi(s) = s+1

con lo cual

F = f o phi: [-2,0] ---> R^2

F(s) = ((s+1)^3-3(s+1) , (s+1)^2+4(s+1))

F(s) = (s^3 + 3s^2 + 3s +1 - 3s - 3 , s^2 + 2s + 1 + 4s + 4)

F(s) = (s^3 + 3s^2 - 2 , s^2 + 6s + 5)

Y el camino de vuelta se hace con

phi: [0,-2] --->[-1, 1]

phi(s)= s +1

pero debe ser [0,2] el dominio, luego cambiamos el signo de s

phi: [0, 2] ---> [-1, 1]

phi(s) = -s+1

F(s) = ((1-s)^3-3(1-s), (1-s)^2+4(1-s))

F(s) = (1-3s+3s^2-s^3 -3 + 3s, 1-2s+s^2+4 -4s)

F(s) = (-s^3 + 3s^2 - 2 , s^2 -6s +5)

con lo cual phi es una función que debe definirse a trozos y F también

phi(s) = 1+s si s € [-2,0]

1-s si s € (0, 2]

F(s) = (s^3 + 3s^2 - 2 , s^2 + 6s + 5) si s € [-2, 0]

(-s^3 + 3s^2 - 2 , s^2 - 6s + 5) si s € [0,2]

El teorema dice que F será una reparametrización si phi es sobreyectiva, de clase C1 y con derivada distinta de cero en todo su dominio.

Sobreyectiva lo es, simplemente con la mitas ya recorre todo el intervalo [-1, 1]

De clase C1. Unicamente puede haber problemas en el punto 0.

El límite de phi(s) cuando s tiende a 0 ya sea por la derecha o la izquierda es 1 luego es continua

Y la derivada es

phi(s) = 1 si s € [-2,0]

-1 si s € (0, 2]

Pues esta no es continua ya que en s=0 las derivadas laterales son distintas. Luego no es de clase C1 y no es una reparametrización.

Y a sabía yo que la ida y vuelta iba a dar una discontinuidad en la derivada ya que en un instante cambia completamente de sentido.

Entonces me parece que he entendido mal el problema. No consistía en buscar una reparametrización sino una función phi que sea de clase C1 y coincida en los puntos extremos, en los intermedios puede ser distinta. Y de esa forma si que es posible que sea de clase C1.

Resumiendo, debe ser una función que tome estos valores

phi(-2) = -1

phi(0) = 1

phi(2) = -1

podría ser trazando una parábola

phi(s) = - (s^2 / 2) + 1

Pero ahora va a pasar otra cosa

phi '(s) = -s

phi '(0) = 0

Luego no va a poder ser una reparametrización.

Es que no puede haber una reparametrización, ya que si es una función continua que vale

phi(-2) = -1
phi(0) = 1
phi(2) = -1

tendrá al menos un máximo relativo en [-2,2] (creo que era el teorema de Rolle) y en ese punto phi ' (s) = 0

Resumiendo:

La función es

phi(s) = - (s^2 / 2) + 1

y

F = f o phi

No es una reparametrización y no existe phi de clase C1 que pueda hacerlo.

Y eso es todo.