Calcular para qué direcciones es continua una función
Buenos días,
¿Podría ayudarme a resolver este problema?
Calcular para qué direcciones es continua la siguiente función en el punto (1,0):
f(x,y)= xy/x^2+y^2-1------> si x^2+y^2-1 no es igual a 0
3------------> si x^3+y^3-1 es igual a 0
Gracias de antemano,
Un Saludo!!
2 respuestas
Bien, lo primero supongo que tu enunciado está mal y el valor 3 ocurre para la misma condición que el resto, es decir cuando el denominador se anula o para los puntos de la circunferencia de radio 1 centrada en el origen.
Suponiendo el enunciado así, hay que
Le he dado al botón erróneo!.
Suponiendo el enunciado asi, hay que calcular el limite de la función cuando (x, y) tiende a (1,0) y ver si es 3.
Podemos simplificar el problema no obstante viendo que ocurre cuando nos acercamos al punto conflictivo por el eje x o por el eje y.
Si x=1 tendríamos \lim_{y \to 0} \frac{y}{y^2}
Que simplificando nos daría \infty
Si hacemos ahora y=0 el limite es 0, porque el numerador es cero siempre y el denominador algo que no es cero.
Además en ningún caso da 3, por lo que en mi opinión la función no es continua en ninguna dirección.
Hola!!
La función sería la siguiente:
f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2-1} si x^2+ y^-1 no es igual a 0
f(x,y)= 3 si x^3+y^3-1= 0
¿Se entiende mejor así?¿Podrías explicarme la resolución razonada paso a paso? No tengo mucha idea de matemáticas y así aprendería a resolver el resto de los ejercicios que tengo pendientes...
A la espera de su respuesta,
Gracias y Un Saludo!!
A ver si lo consigo. La función da un número real (entiendo) a partir de 2 números reales cualesquiera x e y. Bien, habitualmente las funciones se definen sobre un espacio de RxR (números reales) concreto que puede ser todo el conjunto o una parte. Por ejemplo:
f(x) = 1 si x > 0
f(x) = 3 si x < 0
Seria una función que no está definida para x=0. Nos tendrían que decir si tiene valor y cual es para x=0. Podría ser añadir f(0) = 5 o poner un igual en alguna de las dos expresiones anteriores. Supongamos que defino una función así:
f(x)=1 si x > ó = 0
f(x)=3 si x < ó = 0
¿Qué valor tiene en x=0? Pues está mal definida porque vale 1 según la primera expresión y vale 3 si miramos la segunda, con lo cual no es una función en sentido estricto. Y eso es lo que le pasa a tu función. Tiene definición para dos expresiones que no son complementarias o al menos no contienen puntos comunes.
x^2 + y^2 - 1 = 0 Son los puntos de una circunferencia de radio 1 y centro (0,0). Por la primera expresión tu función tiene un valor, el que sea, para todos los puntos del plano fuera de esa circunferencia. Ahora para los puntos que cumplen x^3 + y^3 -1 = 0 tiene el valor 3. Supongamos el punto (2, \sqrt[3]{-7)}). Este punto cumple la segunda condición y por tanto valdría 3, pero también la primera (está fuera de la circunferencia) por lo que la función tendría dos valores en él. Si tu enunciado es así no te han dado una función o está mál definida.
Suponiendo que la función está definida correctamente podemos ver si es continua y en qué puntos lo es o no lo es. Básicamente para que sea continua en un punto el limite cuando la función tiende al punto ha de ser igual al valor de la función en el punto.
Ej: f(x) 1 si x > ó = 0
f(x) 3 si x < 0
En esta función si vamos hacia 0, punto problemático desde x grandes (10,8,6,2,1, 0.7, 0.0001...) vemos que llegamos a 0 sin problemas y el valor de la función es 1 todo el tiempo. Sin embargo si nos acercamos por los valores negativos la función va valiendo 3 todo el rato, pero en el último paso, al saltar a 0 el valor de la función cambia a 1. Por eso decimos que esta función es continua por la derecha pero no lo es por la izquierda.
Que pasa ahora con funciones de dos variables, donde se toman valores en el plano y el valor de la función sería un valor Z de la tercera dimensión. De hecho se representan como curvas en el espacio. Bueno pues resulta que hay infinitos modos de aproximarse al punto conflictivo, tantos como curvas y rectas se nos ocurran que contengan dicho punto. Resulta por tanto complicado comprobar la continuidad en determinada dirección si no nos dicen cual, pero no tanto si la función no tiene límite o éste no es igual al valor de la función en el punto. Para ello se escoge una dirección fácil x=0 por ejemplo y se calcula el límite. Luego se hace lo mismo con otra y=0 y se hace lo propio. Si los límites no son iguales la función no tiene límite en el punto y si no son iguales al valor de la función en el punto no pueden ser continuas en el punto, al menos en esas direcciones.
Veamos que pasa en una dirección genérica dada por una recta donde y=mx. Habría que sustituir en la ecuación, calcular los valores de la función en el punto (1,0) y ver si es igual al límite o si hay valores de m que satisfagan la condición. Te dejo los cálculos para ti.
Debo suponer que 3------------> si x^3+y^3-1 es igual a 0
No es y quisiste decir 3------------> si x^2+y^2-1 es igual a 0
Esta función en el punto (1,0) tiene el valor 3
Si el limite por la derecha de f en este punto tiene valor 3
Entonces es continua en 3 por la derecha
Si el limite por la izquierda de f en este punto tiene valor 3
Entonces es continua en 3 por la izquierda
Si el limite por la derecha y la por izquierda de f en este punto tienen el mismo valor 3
Entonces es continua en 3 por ambas direcciones
Asi que solo tienes que calcular esos limites.
Buenas tardes!!
Efectivamente el ejercicio estaba mal planteado y era como usted decía. El problema que tenía inicialmente era calcular los límites, el cuál ya me ha resuelto otro experto, porque la teoría ya la conocía. Supongo que no me he expresado bien... No obstante, siempre es bueno hacer un recordatorio. Gracias por su interés.
Un Saludo