Ejercicio de valor absoluto

Hola valeroasm tengo una desigualdad con valor absoluto bastante complicado y pues.... No he podido solucionarlo , necesito que me colabores y me trates de explicar paso a paso  como se llega a su solución. Es este:

| x- (2/(x+2)) | > 2

De antemano muchas gracias y espero que me puedas ayudar a entenderlo.

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5.856.350 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Para no tener que pegarme con el corrector ortográfico usaré z en lugar de equis.

Una desigualdad o igualdad de este tipo se descompone en estas dos:

1) z - 2/(z+2) > 2

2) z - 2/(z+2) < -2

Hagamos la primera

1) z - 2/(z+2) > 2

z - 2 > 2/(z+2)

Ahora hay que considerar dos casos,

1a) Si z+2 > 0 puede pasar el denominador  al otro lado sin cambiar la desigualdad

(z-2)(z+2) > 2

z^2 - 4 > 2

z^2 > 6

z > sqrt(6) o z < -sqrt(6)

Pero si tomamos la segunda opción, como

sqrt(6) = 2,4495  ==>

z < -sqrt(6 = -2,4495  ==>

z+2 < -2,4495 + 2 = -o,4495

Pero esto está en contradicción con la suposición z+2>0, luego la solución 1a) es

z>sqrt(6)

1b) Si z+2 < 0 se pasa el denominador cambiando el sentido de la desigualdad

(z-2)(z+2) < 2

z^2 - 4 < 2

z^2 < 6

-sqrt(6) < z < sqrt(6)

pero por otro lado la suposición z+2<0 es lo mismo que

z<-2

Y reuniendo las dos queda que la solución para 1b) es

-sqrt(6) < z < -2

2)  Resolvemos la desigualdad segunda

z - 2/(z+2) < -2

z+2 < 2/(z+2)

De nuevo se descompone en dos casos

2a) si z+2>0 pasamos el denominador al otro lado sin cambiar la desigualdad

(z+2)(z+2) < 2

-sqrt(2) < (z+2) < sqrt(2)

-sqrt(2)-2 < z < sqrt(2) -2

Pero lo suposición era z+2>0 ==> z>-2, luego debemos recortar el intervalo y queda

-2< z < sqrt(2)-2

2b) Si z+2 < 0 se pasa el denominador al otro lado cambiando la desigualdad

(z+2)(z+2) > 2

Esto significa las dos desigualdades de abajo

z+2 > sqrt(2) o

z+2 < -sqrt(2)

Pero la primera es incompatible con z+2< 0

La segunda es totalmente compatible

Luego la solución para 2b) es:

z < -2-sqrt(2)

Y la solución completa es la unión de las soluciones:

sqrt(6) < z

-sqrt(6) < z < -2

-2 < z < sqrt(2)-2

z<-2-sqrt(2)

Vamos a ponerlo como intervalos aproximados que si no no veremos nada

(2,45, +oo)

(-2,45, -2)

(-2, -0,59)

(-oo, -3,41)

Y puestos en orden son (-oo, -3,41)U(-2,45, -2)U(-2,-0,59)U(2,45,+oo)

Y con los números reales correctos es:

(-oo, -2-sqrt(2)) U (-sqrt(6), -2) U (-2, sqrt(2)-2)) U (sqrt(6),+oo)

No creas que tan seguro estoy de que no me haya equivocado, ahora mismo haré la gráfica para comprobarlo.

Y es justamente lo que había resuelto, luego está bien.

Y eso es todo.

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