Identifica los valores y parámetros, posteriormente calcula las probabilidades correspondientes.

Identifica los valores y parámetros, posteriormente calcula las probabilidades
correspondientes.

1. Supón que de 100 cuentas de crédito en un banco, 3 han
sido alteradas fraudulentamente. Las alteraciones son bastantes sutiles y sólo
una auditaría muy detallada las puede descubrir. Si se elige al azar 20 cuentas
para una revisión detallada. ¿Cuál es la probabilidad de que se descubra al
menos una de las cuentas alteradas?

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Como te decía en la anterior, la palabra valores significa tantas cosas que no significa ninguna. Hay que conocer el contexto para ver que significado le han dado.

Las 20 cuentas que examinamos se pueden seleccionar de C(100, 20) formas distintas

Las que tienen la primera fraudulenta y solo esa son C(97, 19)

Las que tienen la segunda fraudulenta y solo esa son C(97, 19)

Las que tienen la tercera fraudulenta y solo esa son C(97,19)

Las que tienen primera y segunda y solo esas son C(97,18)

Las que tienen primera y tercera y solo esas son C(97,18)

Las que tienen segunda y tercera y solo esas son C(97,18)

Las que tienen las tres son C(97, 17)

En total

3C(97, 19) + 3C(97, 18) + C(97,17)

Que habría que dividir por C(100, 20)

Pero las cuentas son complicadas, tras simplificar queda

$$\begin{align}&\frac{3·20·80·79 + 3·20·19·80+20·19·18}{100·99·98}=\\ &\\ &\frac{379200+91200+6840}{970200}=\\ &\\ &\frac{477240}{970200}=\frac{2^3·3·5·41·97}{2^3·3^2·5^2·7^2·11}=\\ &\\ &\frac{41·97}{3·5·7^2·11}=\frac{3977}{8085}\approx 0,4918985776\end{align}$$

Hay otra forma que debería conducir a lo mismo imagino:

P(estar la primera fraudulenta) = 20/100 = 1/5

P(estar segunda y no estar la primera) = (4/5)(1/5) = 4/25

P(estar tercera y o estar ni 1ª ni 2ª) = (4/5)(4/5)(1/5) = 16/125

Probabilidad de estar alguna de las tres

1/5 + 4/25 + 16/125 = (25+20+16) / 125 = 61/125= 0.488

Pues no son iguales, parecidas pero no iguales. Yo me fio del primero del que más.

Voy a mejorar el segundo.

P(estar la primera) = 1/5

P(esta segunda y primera no) = (1/5)(79/99) = 79/495

P(estar tercera y segunda y primera no) = (1/5)(79/99)(78/98) = 6162 /48510

Y la suma de las tres es:

1/5 + 79/495 + 6162/48510 = (9702 + 7742 + 6162) / 48510 = 23606/ 48510=

11803 / 24255 =0.4866213152

Pues aun hay que mejorar

P(estar primera) = 1/5

P(estar 2º y 1ª no) = (1/5)(98/99)(97/98)···(80/81) = (1/5)(80/99) = 80/495 =16/99

P(estar 3ª y no 1ª ni 2ª) =(1/5)(97/99)(96/98)(95/97) ···(79/81) = 80·79/(5·99·98)=

6320/48510 = 632/4851

Y la suma de las tres es

1/5 + 16/99 + 632/4851 = (53361+43120+34760)/266805 = 131241/266805 =

3977/8085 = 0.4918985776

Por fin, está es la forma buena.

Como ves no era fácil, me gustaría ver como lo han resuelto en el libro. A lo mejor es fácil dependiendo lo que os hayan enseñado previamente.

Espera. Que lo que menos se acuerda uno en esta vida es de las distribuciones hipergeométricas. Ahora le encuentro sentido al ejercicio. Los valores y parámetros a los que se refiere son:

El tamaño de la población N=100

El tamaño de la muestra n= 20

El número de elementos de la población que pertenecen a la categoría deseada r=3

Y la formula es esta cosa tan complicada

$$P(Y=y)=\frac{\binom ry \binom{N-r}{n-y}}{\binom Nn}$$

Y lo que nos piden es la probabilidad de y=1, y=2 o y=3 hagamos las cuentas

$$\begin{align}&\frac{\binom 31 \binom{100-3}{20-1}+\binom 32 \binom{100-3}{20-2}+\binom 33 \binom{100-3}{20-3}}{\binom {100}{20}}=\\ &\\ &\\ &\frac{3 \binom{97}{19}+3 \binom{97}{18}+ \binom{97}{17}}{\binom {100}{20}}=\\ &\\ &\frac{\frac{3·97!}{19!78!}+\frac{3·97!}{18!79!}+\frac{97!}{17!80!}}{\frac{100!}{20!80!}}=\\ &\\ &\frac{\frac{3}{1}}{\frac{100·99·98}{20·80·79}}+\frac{\frac{3}{1}}{\frac{100·99·98}{20·19·80}}+\frac{1}{\frac{100·99·98}{20·19·18}}=\\ &\\ &\\ &\frac{3·20·80·79+3·20·19·80+20·19·18}{100·99·98}=\\ &\\ &\\ &\frac{477240}{970200}=\frac{3977}{8085}\approx 0.4918985776\end{align}$$

Bueno, el resultado es el mismo que habíamos obtenido antes de dos formas distintas. Distribuciones tan complicadas como esta se suelen olvidar, pero si se sabe deducir se pueden resolver los problemas de todas formas. Aunque es útil aprenderla de memoria para usarla y porque así te lo exige el temario.

Y eso es todo.

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