Solución ejercicio 4 pagina 153

Verificar la regla de la cadena para la parcial de h respecto de x donde

h(x,y) = f(u(x,y), v(x,y))

f(u,v) = (u^2+v^2) / (u^2-v^2)

u(x,y) = e^{-x-y}

v(x,y) = e^(xy)

Primero lo haremos calculando la función h y derivándola

$$\begin{align}&h(x,y) = \frac{u^2+v^2}{u^2-v^2}=\frac{e^{(-2x-2y)}+e^{2xy}}{e^{(-2x-2y)}-e^{2xy}}\\ &\\ &\\ &\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{(-2e^{(-2x-2y)}+2ye^{2xy})(e^{(-2x-2y)}-e^{2xy})-(e^{(-2x-2y)}+e^{2xy})(-2e^{(-2x-2y)}-2ye^{2xy})}{(e^{(-2x-2y)}-e^{2xy})^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{-2e^{(-4x-4y)}+2e^{(-2x-2y+2xy)}+2ye^{(-2x-2y+2xy)}-2ye^{4xy}+2e^{(-4x-4y)}+2ye^{(-2x-2y+2xy)}+2e^{(-2x-2y+2xy)}+2ye^{4xy}}{(e^{(-2x-2y)}-e^{2xy})^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{4e^{(-2x-2y+2xy)}+4ye^{(-2x-2y+2xy)}}{(e^{(-2x-2y)}-e^{2xy})^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{4e^{(-2x-2y+2xy)}(1+y)}{(e^{(-2x-2y)}-e^{2xy})^2}\end{align}$$

¡Uff!

Y ahora lo hacemos con la regla de la cadena

$$\begin{align}&\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{2u(u^2-v^2)-2u(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}(-e^{(-x-y)})+\\ &\\ &\frac{2v(u^2-v^2)+2v(u^2+v^2)}{(u^2-v^2)^2}(ye^{xy})=\\ &\\ &\\ &\frac{4uv^2e^{(-x-y)}+4vu^2ye^{xy}}{(u^2-v^2)^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{4e^{-x-y}e^{2xy}e^{-x-y}+4e^{xy}e^{-2x-2y}ye^{xy}}{(e^{(-2x-2y)}-e^{2xy})^2} =\\ &\\ &\\ &\frac{4e^{(-2x-2y+2xy)}+4ye^{(-2x-2y+2xy)}}{(e^{(-2x-2y)}-e^{2xy})^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{4e^{(-2x-2y+2xy)}(1+y)}{(e^{(-2x-2y)}-e^{2xy})^2}\end{align}$$

Y el resultado es el mismo de las dos formas, tal como debía ser.