Coordenadas cilíndricas ayuda
(x^2+y^2)=2ax
xy=zc
la gráfica seria un cilindro
el resultado seria 2a^3/3c trate de resolverlo y me quede a la mitad
1 Respuesta
El enunciado dice: CALCULAR EL VOLUMEN DE
(x^2+y^2)=2ax
xy=zc
X puede tomar valores tales que
x^2 <= 2ax
como supondré que a>=0 entonces x>=0
x <= 2a
Luego toma valores en [0, 2a]
y tomara valores entre dos funciones de x
y^2 <= 2ax-x^2
y € [-sqrt(2ax-x^2), sqrt(2ax-x^2)
se supone que el volumen es el contenido entre el plano z=0 y la función
z = xy/c
Luego el volumen es
$$\begin{align}&V=\int_0^{2a}\int_{-\sqrt{2ax-x^2}}^{\sqrt{2ax-x^2}}\;\frac {xy}c \;dy\,dx=\\ &\\ &\text{primero un cambio sencillo para ayudar}\\ &x=t+a \quad dx=dt\\ &x=0\implies t=-a\\ &x=2a\implies t=a\\ &\\ &\int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{2a(t+a)-(t+a)^2}}^{\sqrt{2a(t+a)-(t+a)^2}}\;\frac {(t+a)y}c \;dy\,dt=\\ &\\ &=\int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^2-t^2}}^{\sqrt{a^2-t^2}}\;\frac {(t+a)y}c \;dy\,dt=\\ &\\ &\\ &\text{El dominio es ahora un círculo de radio a}\\ &\text{y el cambio a cilíndricas es}\\ &t=\rho\,\cos\theta\\ &y =\rho\,sen\theta\\ &Jacobiano=\rho\\ &\\ &=\int_0^{a}\int_0^{2\pi}\rho·(\rho \cos\theta+a)\rho\,sen\theta \;d\theta\,d\rho=\\ &\\ &=\frac 1c\int_0^{a}\int_0^{2\pi}(\rho^3sen\theta \cos\theta+a \rho^2sen\theta)\;d\theta\,d\rho=\\ &\\ &\frac 1c\int_0^a\left[\frac{\rho^3sen^2\theta}{2}-a\rho^2cos\theta \right]_0^{2\pi}d\rho=\\ &\\ &\frac 1c\int_0^a(0-a\rho^2-0+\end{align}$$De verdad que no volveré a hacer ejercicios donde el enunciado no sea fiable y completo.
Esta integral da 0, luego en el enunciado tiene que haber una acotación.
Creo que la acotación que se necesita es y>=0 con todo ello sería el mismo trabajo que he hecho solo que el li, ite inferior de y sería 0 y el ángulo theta varía entre 0 y pi.
Retomando la parte final
$$\begin{align}&\frac 1c\int_0^a\left[\frac{\rho^3sen^2\theta}{2}-a\rho^2cos\theta \right]_0^{\pi}d\rho=\\ &\\ &\frac 1c\int_0^a\left(0+a\rho^2-0+a\rho^2 \right)d\rho=\\ &\\ &\frac{2a}{c}\int_0^a\rho^2 d\rho=\frac {2a}c· \left.\frac{\rho^3}{3}\right|_0^a=\frac{2a^4}{3c}\end{align}$$Y tampoco sería la solución que tienes sino con exponente a la cuarta.
Por favor, los enunciados deben estar bien, no hay nada peor que meterse en un ejercicio de cambio múltiple de variables con unos datos imprecisos.
Muchas gracias profesor Valeroasm, disculpe los inconveniente ocasionados con estos ejercicios. De verdad gratamente agradecida. logre entenderlo.
aunque hay una manera mas fácil de poder realizarlo, gracias a usted pude resolverlo con la manera mas fácil que le indico. Ese es exactamente el resultado. De igual forma lo realice de las dos maneras posibles y obtuve el resultado. Gracias de antemano. Un saludo.
