Probar para todo entero positivo -congruencias
Probar que para todo entero positivo n, 3^(2n+1) + 2^(n+2) es divisible por 7
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3^(2n+1) = 3·3·3^(2n-1) = (7+2) 3^(2n-1) = 7·3^(2n-1) + 2·3^(2n-1)
Y el resto de dividir entre 7 es el del segundo sumando porque el primero es múltiplo de 7
A
2·3^(2n-1) le hacemos el mismo proceso
Y queda
2[7·3^(2n-3) + 2·3^(2n-3)]
El resto de esto entres 7 es el de
4·3^(2n-3)
Se repite el proceso todas las veces necesarias hasta que el exponente quede reducido a 1.
Al final queda que el resto de 3^(2n+1) es exactamnete igual al resto de 3·(2^n)
Ahora el resto entre 7 de la expresión inicial es el de
3·2^n + 2^(n+2)
que sacando factor común es
(2^n)(3+2^2) = (2^n)·7
Y claro está, el resto de dividir esto por 7 es cero, luego la expresión inicial es divisible por 7.
Y eso es todo.
