Anónimo
Teoría de números básica-Algoritmo de la división
1. Pruebe que ningún entero en la secuencia: 11,111,1111,11111,... Es un cuadrado perfecto.
Es un problema de un taller de Algoritmo de la división.
Además tengo inconvenientes con este:
2. Si n es un entero impar, pruebe que n^4 + 4n + 11 es de la forma 16K
Es un problema de un taller de Algoritmo de la división.
Además tengo inconvenientes con este:
2. Si n es un entero impar, pruebe que n^4 + 4n + 11 es de la forma 16K
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Está bien, espero tu respuesta.
Vamos a ver, tengo una pista pero no sé si valdrá.
Sea 1111... 1 con 2n cifras, es decir un número par de cifras
Aplicando el algoritmo de la raíz cuadrada vemos que el resultado siempre se nutre de treses y siempre da resto 22. Peor me he armado un lío muy tremendo para poder demostrarlo. Además cuando el número de cifras era impar no concluía nada.
Creo que por la dificultad del problema que planteas sabrás lo que es la aritmética modular y las congruencias. Si no, me lo dices y lo intentaré demostrar sin usar eso o enseñándotelo antes.
Sea n un número cualquiera perteneciente a N y sea r su resto al dividir por 10.
Por la teoría de congruencias, n y r son congruentes mod 10 y también sus cuadrados son congruentes mod 10.
Como r es un número entre 0 y 9 y es fácil averiguar como pueden ser sus cuadrados.
Y de paso ponemos también su resto mod 10:
0 x 0 = 0
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
4 x 4 = 16 (mod 10) = 6
5 x 5 = 25 (mod 10) = 5
6 x 6 = 36 (mod 10) = 6
7 x 7 = 49 (mod 10) = 9
8 x 8 = 64 (mod 10) = 4
9 x 9 = 81 (mod 10) = 1
Sea ahora m la supuesta raíz cuadrada exacta de 1111...11
Como el cuadrado de m termina en 1, el (resto mod 10 de m)^2 también terminará en 1.
Y mirando la tabla que hemos hecho el resto mod 10 de m será 1 ó 9.
Luego m=10k+1 ó m=10k-9 (a lo mejor nos interesa más usar 10k-1)
a) Si m=10k+1 tenemos
m^2 = 100k^2 + 20k +1
el resto de dividir m^2 por 100 nos dará sus ultimas 2 cifras. A efectos de cálcularlo sobra el (100k^2) y el resto será el resto de (20k + 1)
m^2 (mod 100) = 20k + 1 (mod 100)
Pero este resto nunca puede ser 11, puede ser 01, 21, 41, 61 u 81, nunca 11.
Por tanto m^2 no podrá terminar en 11 y no podrá ser un número de la forma 1111...11
b) Si m=10k+9
m^2 = (10k+9)^2 = 100k^2 +180k + 81 = 100(k^2+k) + 80k + 81
Despreciamos la parte multiplicada por 100 al calcular su resto y queda:
m^2 (mod 100) = 80k + 81 (mod 100) = 80(k+1) + 1 (mod 100)
Y esto puede valer 1, 81, 61, 41, 21 para k=0,1,2,3,4 y se repiten y nunca vale 11.
Por tanto m^2 no podrá terminar en 11 y no podrá ser un número de la forma 1111... 11
Y ya está demostrado que no hay numero m cuyo cuadrado sea de la forma 1111... 11
Te mando ya esto por si estabas impaciente y luego intento resolver el segundo problema
Sea 1111... 1 con 2n cifras, es decir un número par de cifras
Aplicando el algoritmo de la raíz cuadrada vemos que el resultado siempre se nutre de treses y siempre da resto 22. Peor me he armado un lío muy tremendo para poder demostrarlo. Además cuando el número de cifras era impar no concluía nada.
Creo que por la dificultad del problema que planteas sabrás lo que es la aritmética modular y las congruencias. Si no, me lo dices y lo intentaré demostrar sin usar eso o enseñándotelo antes.
Sea n un número cualquiera perteneciente a N y sea r su resto al dividir por 10.
Por la teoría de congruencias, n y r son congruentes mod 10 y también sus cuadrados son congruentes mod 10.
Como r es un número entre 0 y 9 y es fácil averiguar como pueden ser sus cuadrados.
Y de paso ponemos también su resto mod 10:
0 x 0 = 0
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
4 x 4 = 16 (mod 10) = 6
5 x 5 = 25 (mod 10) = 5
6 x 6 = 36 (mod 10) = 6
7 x 7 = 49 (mod 10) = 9
8 x 8 = 64 (mod 10) = 4
9 x 9 = 81 (mod 10) = 1
Sea ahora m la supuesta raíz cuadrada exacta de 1111...11
Como el cuadrado de m termina en 1, el (resto mod 10 de m)^2 también terminará en 1.
Y mirando la tabla que hemos hecho el resto mod 10 de m será 1 ó 9.
Luego m=10k+1 ó m=10k-9 (a lo mejor nos interesa más usar 10k-1)
a) Si m=10k+1 tenemos
m^2 = 100k^2 + 20k +1
el resto de dividir m^2 por 100 nos dará sus ultimas 2 cifras. A efectos de cálcularlo sobra el (100k^2) y el resto será el resto de (20k + 1)
m^2 (mod 100) = 20k + 1 (mod 100)
Pero este resto nunca puede ser 11, puede ser 01, 21, 41, 61 u 81, nunca 11.
Por tanto m^2 no podrá terminar en 11 y no podrá ser un número de la forma 1111...11
b) Si m=10k+9
m^2 = (10k+9)^2 = 100k^2 +180k + 81 = 100(k^2+k) + 80k + 81
Despreciamos la parte multiplicada por 100 al calcular su resto y queda:
m^2 (mod 100) = 80k + 81 (mod 100) = 80(k+1) + 1 (mod 100)
Y esto puede valer 1, 81, 61, 41, 21 para k=0,1,2,3,4 y se repiten y nunca vale 11.
Por tanto m^2 no podrá terminar en 11 y no podrá ser un número de la forma 1111... 11
Y ya está demostrado que no hay numero m cuyo cuadrado sea de la forma 1111... 11
Te mando ya esto por si estabas impaciente y luego intento resolver el segundo problema
Antes de nada una pequeña corrección a lo mandado.
La línea donde decía:
"Luego m=10k+1 ó m=10k-9 (a lo mejor nos interesa más usar 10k-1)"
debe poner m=10k+9 y es esta:
"Luego m=10k+1 ó m=10k+9 (a lo mejor nos interesa más usar 10k-1)"
lo demás está bien.
---------------------------------
2. Si n es un entero impar, pruebe que n^4 + 4n + 11 es de la forma 16K
Si n es impar será de la forma 2m+1
(2m+1)^4 + 4(2m+1) + 11 =
1·16m^4 + 4·8m^3 + 6·4m^2 + 4·2m + 1 + 8m + 4 + 11 =
16(m^4 + 2m^3) + 24m^2 + 16m + 16 =
16(m^4 + 2m^3 + m + 1) + 24m^2 = y si me apuras podemos llegar a poner
16(m^4 + 2m^3 + m^2+ m + 1) + 8m^2
Eso no siempre será de la forma 16k, será necesario que m sea par para que lo sea.
Y por si no hemos quedado convencidos hagamos las comprobaciones:
n= 2x0 + 1 = 1 ==> 1 + 4 + 11 = 16 = 16 x 1 Se cumple
n = 2x1 +1 = 3 ==> 81 + 12 + 11 = 104 = 16 x 6,5 No se cumple
n = 2x2 + 1= 5 ==> 625 + 20 + 11 = 656 = 16 x 41 Se cumple
n = 2x3 + 1 = 7 ==> 2401 + 28 + 11 = 2440 = 16 x 252,5 No se cumple
La conclusión es que dado n impar entonces:
Si n es de la forma 4m+1 entonces n^4 + 4n + 11 es de la forma 16K
Si n no es de la forma 4m+1 entonces n^4 + 4n + 11 no es de la forma 16K
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. Si quieres alguna aclaración puedes pedirla. No olvides puntuar y finalizar la pregunta.
La línea donde decía:
"Luego m=10k+1 ó m=10k-9 (a lo mejor nos interesa más usar 10k-1)"
debe poner m=10k+9 y es esta:
"Luego m=10k+1 ó m=10k+9 (a lo mejor nos interesa más usar 10k-1)"
lo demás está bien.
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2. Si n es un entero impar, pruebe que n^4 + 4n + 11 es de la forma 16K
Si n es impar será de la forma 2m+1
(2m+1)^4 + 4(2m+1) + 11 =
1·16m^4 + 4·8m^3 + 6·4m^2 + 4·2m + 1 + 8m + 4 + 11 =
16(m^4 + 2m^3) + 24m^2 + 16m + 16 =
16(m^4 + 2m^3 + m + 1) + 24m^2 = y si me apuras podemos llegar a poner
16(m^4 + 2m^3 + m^2+ m + 1) + 8m^2
Eso no siempre será de la forma 16k, será necesario que m sea par para que lo sea.
Y por si no hemos quedado convencidos hagamos las comprobaciones:
n= 2x0 + 1 = 1 ==> 1 + 4 + 11 = 16 = 16 x 1 Se cumple
n = 2x1 +1 = 3 ==> 81 + 12 + 11 = 104 = 16 x 6,5 No se cumple
n = 2x2 + 1= 5 ==> 625 + 20 + 11 = 656 = 16 x 41 Se cumple
n = 2x3 + 1 = 7 ==> 2401 + 28 + 11 = 2440 = 16 x 252,5 No se cumple
La conclusión es que dado n impar entonces:
Si n es de la forma 4m+1 entonces n^4 + 4n + 11 es de la forma 16K
Si n no es de la forma 4m+1 entonces n^4 + 4n + 11 no es de la forma 16K
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. Si quieres alguna aclaración puedes pedirla. No olvides puntuar y finalizar la pregunta.
Eres un verdadero experto.
La segunda respuesta me queda clara. Gracias.
Sobre la primera, dado que hasta el momento sólo llegamos al algoritmo de división y por eso creo que tu solución no es la adecuada para mi, debe usarse el algoritmo de la división, voy a explicar como pienso que se debe solucionar, tal vez me ayudas. En un ejercicio pasado ya probé que todo cuadrado es de la forma 3K o 3K+1, entonces podría reescribir el enunciado así:
Pruebe que ningún entero en la secuencia 11, 111, 1111, 11111,... tiene la form 3K o 3k+1.
Espero me puedes ayudar.
La segunda respuesta me queda clara. Gracias.
Sobre la primera, dado que hasta el momento sólo llegamos al algoritmo de división y por eso creo que tu solución no es la adecuada para mi, debe usarse el algoritmo de la división, voy a explicar como pienso que se debe solucionar, tal vez me ayudas. En un ejercicio pasado ya probé que todo cuadrado es de la forma 3K o 3K+1, entonces podría reescribir el enunciado así:
Pruebe que ningún entero en la secuencia 11, 111, 1111, 11111,... tiene la form 3K o 3k+1.
Espero me puedes ayudar.
No, eso no sirve. Ya nada más empezar nos encontramos que el 111 es múltiplo de 3
111=3 x 37
Y todos los que tengan 6, 9,12, 15, ... cifras serán múltiplos de 3.
Todo esto de las congruencias, módulos y restos deriva de la división. Si quieres cambiamos la forma pero vamos a hacer lo mismo. La conclusión a la que llegaba yo era que un cuadrado no puede acabar en 11. Vamos a ver si puedo llegar a eso de una manera más simple.
Sea n un numero natural lo dividimos por 10 y calculamos el resto
n = 10k + r
k, r naturales, con k el cociente y r el resto siendo 0 <= r < 10
n^2 = (10k + r)^2 = 100k^2 + 20kr + r^2
las dos ultimas cifras de n^2 son las dos ultimas de 20kr + r^2 puesto que sumar 100K^2 no afecta a esas 2 últimas cifras
Estudiamos por tanto las dos ultimas cifras de 20kr + r^2
20kr puede ser 0, 20, 40,60 u 80, después repite estas dos últimas cifras
r^2 puede ser 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, u 81
unicamente r^2 = 1 u 81 podrá hacer que la ultima cifra sea 1
Sumando los dos términos tendremos que las dos últimas cifras de un cuadrado acabado en 1 pueden ser:
0 + 1 u 81 = 01 u 81
20 + 1 u 81 = 21 ó 01
40 + 1 u 81 = 41 ó 21
60 + 1 u 81 = 61 ó 41
80 + 1 u 81 = 81 ó 61
Y así hemos demostrado que un cuadrado nunca puede terminar en 11.
¿Es carrera de matemáticas lo que estudias u otra cosa?
Espero que este te sirva y lo hallas comprendido. No olvides puntuar si ya das por cocluida la pregunta.
111=3 x 37
Y todos los que tengan 6, 9,12, 15, ... cifras serán múltiplos de 3.
Todo esto de las congruencias, módulos y restos deriva de la división. Si quieres cambiamos la forma pero vamos a hacer lo mismo. La conclusión a la que llegaba yo era que un cuadrado no puede acabar en 11. Vamos a ver si puedo llegar a eso de una manera más simple.
Sea n un numero natural lo dividimos por 10 y calculamos el resto
n = 10k + r
k, r naturales, con k el cociente y r el resto siendo 0 <= r < 10
n^2 = (10k + r)^2 = 100k^2 + 20kr + r^2
las dos ultimas cifras de n^2 son las dos ultimas de 20kr + r^2 puesto que sumar 100K^2 no afecta a esas 2 últimas cifras
Estudiamos por tanto las dos ultimas cifras de 20kr + r^2
20kr puede ser 0, 20, 40,60 u 80, después repite estas dos últimas cifras
r^2 puede ser 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, u 81
unicamente r^2 = 1 u 81 podrá hacer que la ultima cifra sea 1
Sumando los dos términos tendremos que las dos últimas cifras de un cuadrado acabado en 1 pueden ser:
0 + 1 u 81 = 01 u 81
20 + 1 u 81 = 21 ó 01
40 + 1 u 81 = 41 ó 21
60 + 1 u 81 = 61 ó 41
80 + 1 u 81 = 81 ó 61
Y así hemos demostrado que un cuadrado nunca puede terminar en 11.
¿Es carrera de matemáticas lo que estudias u otra cosa?
Espero que este te sirva y lo hallas comprendido. No olvides puntuar si ya das por cocluida la pregunta.