Problemas de geometría analítica

1)

Un trapecio es un cuadrilátero con las bases paralelas, esa es la única condición que debe cumplir.

Veamos cuál es el vector director de la recta que pasa por AB

v = (4, 2) - (1,4) = (3, -2)

Ahora aplicamos este vector multiplicado por un parámetro al punto C, eso será la ecuación vectorial de la recta que contiene base CD

r: (-2, -4) + t (3, -2) = (-2+3t, -4-2t)

Y uno de esos puntos debe ser D, luego

(2, b) = (-2+3t, -4-2t)

esto son dos igualdades

2 = -2 + 3t

b = -4 - 2t

En la primera despejamos t

4 = 3t

t = 4/3

Y calculamos b en la segunda

b = - 4 - 2(4/3) = -4 - 8/3 = (-12-8)/3 = -20/3

2)

Los lados AB y BC serán perpendiculares.

El vector AB = (3, 6) - (1, 1) = (2, 5)

Un vector perpendicular se obtiene cambiando las coordenadas de lugar y el signo de una, tenemos así el

(5, -2)

Que puedes comprobar que el producto escalar es

(2, 5) (5, -2) = 10-10 = 0

Luego el vector v=(5, -2) es vector director de la recta que contiene BC, luego dicha recta será

R: B+tv = (3, 6) + t(5, -2) = (3+5t, 6-2t)

Y el punto C pertenece a esa recta, luego existe un t para el cual

(6, b) = (3+5t, 6-2t)

de la primera igualdad calculamos t

6 = 3 + 5t

3 = 5t

t = 3/5

y ahora calculamos b con la segunda igualdad

b = 6 - 2(3/5) = 6 - 6/5 = (30 - 6)/5 = 24/5