Es exactamente el mismo que doy yo. Lo he comprobado con la calculadora. Lo que pasa es que dependiendo del método de integración se llegan a expresiones en apariencia distintas pero que son iguales. Y vas a ver que no es tan fácil comprobarlo.
$$\begin{align}&-\sqrt{12}-2ln(4-\sqrt{12})+2ln(4+\sqrt{12})=\\ &\\ &-2 \sqrt 3 +2ln \left ( \frac{4+\sqrt{12}}{4-\sqrt{12}} \right )=\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 +2ln \left ( \frac{4+\sqrt{12}}{4-\sqrt{12}}·\frac{4+\sqrt{12}}{4+\sqrt{12}} \right )=\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 +2ln \left ( \frac{16+12+2·4 \sqrt{12}}{4}· \right )=\\ &\\ &-2 \sqrt 3 + 2ln(7+2 \sqrt{12})=\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 + 2ln(7+4 \sqrt{3})=\\ &\\ &\text {Y aquí viene el perejil de la salsa}\\ &(2+ \sqrt 3)^2 = 4 + 3+4 \sqrt 3=7+4 \sqrt 3\\ &\text {luego la igualdad que estamos haciendo es}\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 + 2ln((2 +\sqrt{3})^2)=\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 + 4ln(2 +\sqrt{3})\\ &\\ &\end{align}$$
Exactamente lo mismo que te decían. Pero ya te digo que en integrales no esperes que salgan expresiones iguales a dos personas distintas. No solo esta el caso de que sean iguales, sino que el caso de las indefinidas no tienen porque ser iguales, pueden diferenciarse en un constante y esa constante no estar a la vista sino formar parte de algo que parece una función variable.
Fíjate en esta integral, una de ese estilo me dio muchos quebraderos de cabeza
Y me despido aquí arriba porque abajo no me dejan abrir una línea nueva.
Un saludo
$$\begin{align}&\text {A mi me daba esto:}\\ &ln({x-2+\sqrt{x^2-4x+3}})\\ &\\ &\text {El ordenador decía que era esta}\\ &ln({2x-4+2 \sqrt{x^2-4x+3}})\\ &\\ &\text{Repase millones de veces la mía y era correcta.}\\ &\\ &\text{Las dos estaban bien simplemente sucede que}\\ &ln({2x-4+2 \sqrt{x^2-4x+3}})=ln({x-2+\sqrt{x^2-4x+3}})+ln(2)\\ &\\ &\text {y solo difieren en una constante.}\end{align}$$