Integral definida de 2 a 4

$$\int_2^4 \sqrt(16-x^2)dx/x$$
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5.853.975 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
$$\begin{align}&\int_2^4 \frac{\sqrt{16-x^2} \; dx}{x}=\\ &\\ &\\ &\text{Hacemos el cambio}\\ &t = \sqrt{16-x^2} \implies x= \sqrt{16-t^2}\\ &dx= -\frac{tdt}{\sqrt{16-t^2}}\\ &x=2 \implies t= \sqrt {12}\\ &x=4 \implies t=0\\ &\\ &\\ &= \int_{\sqrt{12}}^1 \frac {t}{\sqrt{16-t^2}}\frac{-tdt}{\sqrt{16-t^2}}= \int_{\sqrt{12}}^1 \frac{-t^2dt}{16-t²} =\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{\sqrt{12}}^1 \left (1 -\frac{16}{16-t^2} \right )dt=\end{align}$$

Con el editor de ecuaciones se escribe muy mal el texto. Tenemos una integral racional, veamos cómo se integra

16/(16-t²)

Lo pondremos como suma de dos funciones racionales mas sencillas.

Como 16-t² =(4-t)(4+t) sabemos por la teoría q

Y dale con mandarse las respuestas solas antes de hora, espera un poco a que la termine.

Y dale con mandarse las respuestas solas antes de hora, espera un poco a que la termine.

Un saludo.

Como 16-t²=(4-t)(4+t) sabemos por la teoría que

16/(16-t²) = a/(4-t) + b(4+t) = [a(4+t)+b(4-t)] / [(4-t)(4+t)] =

[4(a-b)t + 4(a+b)] / (16-t²)

Como el denominador es el mismo que al principio también lo será el numerador, que por ser un polinomio en t debe cumplir la igualdad coeficiente a coeficiente y nos da estas dos ecuaciones

4(a-b)=0

4(a+b)=16

Y la solución se ve claramente que es a=b=2.

Luego la integral queda:

$$\begin{align}&=\int_{\sqrt{12}}^0 \left ( 1-\frac{2}{4-t}-\frac{2}{4+t} \right)dt=\\ &\\ &\\ &\left [  t + 2ln|4-t|-2ln|4+t| \right ]_{\sqrt{12}}^0=\\ &\\ &0+2ln(4)-2ln(4)-\sqrt{12}-2ln(4-\sqrt{12})+2ln(4+\sqrt{12})=\\ &\\ &-\sqrt{12}-2ln(4-\sqrt{12})+2ln(4+\sqrt{12}) \approx 1,803729973\end{align}$$

Y eso es todo.

el resultado dice que queda

$$4ln(2+\sqrt 3)-2 \sqrt 3$$

Es exactamente el mismo que doy yo. Lo he comprobado con la calculadora. Lo que pasa es que dependiendo del método de integración se llegan a expresiones en apariencia distintas pero que son iguales. Y vas a ver que no es tan fácil comprobarlo.

$$\begin{align}&-\sqrt{12}-2ln(4-\sqrt{12})+2ln(4+\sqrt{12})=\\ &\\ &-2 \sqrt 3 +2ln \left ( \frac{4+\sqrt{12}}{4-\sqrt{12}} \right )=\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 +2ln \left ( \frac{4+\sqrt{12}}{4-\sqrt{12}}·\frac{4+\sqrt{12}}{4+\sqrt{12}} \right )=\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 +2ln \left ( \frac{16+12+2·4 \sqrt{12}}{4}· \right )=\\ &\\ &-2 \sqrt 3 + 2ln(7+2 \sqrt{12})=\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 + 2ln(7+4 \sqrt{3})=\\ &\\ &\text {Y aquí viene el perejil de la salsa}\\ &(2+ \sqrt 3)^2 = 4 + 3+4 \sqrt 3=7+4 \sqrt 3\\ &\text {luego la igualdad que estamos haciendo es}\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 + 2ln((2 +\sqrt{3})^2)=\\ &\\ &\\ &-2 \sqrt 3 + 4ln(2 +\sqrt{3})\\ &\\ &\end{align}$$

Exactamente lo mismo que te decían. Pero ya te digo que en integrales no esperes que salgan expresiones iguales a dos personas distintas. No solo esta el caso de que sean iguales, sino que el caso de las indefinidas no tienen porque ser iguales, pueden diferenciarse en un constante y esa constante no estar a la vista sino formar parte de algo que parece una función variable.

Fíjate en esta integral, una de ese estilo me dio muchos quebraderos de cabeza

Y me despido aquí arriba porque abajo no me dejan abrir una línea nueva.

Un saludo

$$\begin{align}&\text {A mi me daba esto:}\\ &ln({x-2+\sqrt{x^2-4x+3}})\\ &\\ &\text {El ordenador decía que era esta}\\ &ln({2x-4+2 \sqrt{x^2-4x+3}})\\ &\\ &\text{Repase millones de veces la mía y era correcta.}\\ &\\ &\text{Las dos estaban bien simplemente sucede que}\\ &ln({2x-4+2 \sqrt{x^2-4x+3}})=ln({x-2+\sqrt{x^2-4x+3}})+ln(2)\\ &\\ &\text {y solo difieren en una constante.}\end{align}$$

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