Las derivadas de las funciones son

Lo más normal es que los límites de integración molesten durante el proceso, se suele hacer primero la indefinida y luego se evalúa entre los límites.

$$\begin{align}&\int \sqrt x·lnx\,dx=\\ &\\ &u=lnx \quad\quad\quad du=\frac{dx}{x}\\ &\\ &dv= \sqrt x\, dx\quad\quad v= \frac 23x^{3/2}\\ &\\ &=\frac 23x^{3/2}lnx-\frac 23\int x^{1/2}dx=\\ &\\ &\frac 23x^{3/2}lnx-\frac 23·\frac 23 x^{3/2}=\\ &\\ &\frac 23 x^{3/2}lnx-\frac 49x^{3/2}=\\ &\\ &\frac 23 x^{3/2}\left(lnx-\frac 23  \right)\\ &\\ &\text{Y ahora lo evaluamos entre 1 y 5}\\ &\\ &\frac 23\left[x^{3/2}\left(lnx-\frac 23  \right)\right]_1^5=\\ &\\ &\frac 23\left(\sqrt {125}\left(ln5-\frac 23\right)+\frac 23= \right)=\\ &\\ &\\ &\frac{6 \sqrt{125}\,ln5-4 \sqrt{125}+4}{9}\approx 7.47144642\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.