Área casquete esférico

Una esfera es tangente a todas las aristas de un cubo. El radio de la esfera es R.

Encuentra el área de la parte de esfera contenida en el interior del cubo

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5.857.250 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Si proyectamos la figura sobre el eje Z tenemos una circunferencia de radio R con un cuadrado inscrito. Los puntos de contacto están en las diagonales que forman 45º con los ejes.

En la Wikipedia tienes la fórmula del área del casquete esférico

Casquete esférico

El área de un casquete de los que salen del cubo será

Área = 2·pi·R·h =

donde h será R - R·sen45º = R[1-sqrt(2)/2], luego

= 2·pi·R^2·[1-sqrt(2)/2] =

pi·R^2·[2-sqrt(2)]]

Y los casquetes que quedan fuera son 6, luego el área exterior será

6pi·R^2·[2-sqrt(2)]]

Luego el área que queda dentro será el área total de la esfera menos esta.

Área dentro = 4·pi·R^2 - 6pi·R^2·[2-sqrt(2)]] =

pi·R^2[6·sqrt(2) - 8] =

2·pi·R^2[3·sqrt(2) - 4]

Lo ponemos con el editor para que quede más claro:

$$\begin{align}&Área\; dentro=2·\pi·R^2(3·\sqrt 2 - 4)\approx\\ &\\ &0.4852813742\, \pi R^2 \approx 1.5245564 R^2\end{align}$$

Y eso es todo.

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