Área casquete esférico
Una esfera es tangente a todas las aristas de un cubo. El radio de la esfera es R.
Encuentra el área de la parte de esfera contenida en el interior del cubo
1 Respuesta
Si proyectamos la figura sobre el eje Z tenemos una circunferencia de radio R con un cuadrado inscrito. Los puntos de contacto están en las diagonales que forman 45º con los ejes.
En la Wikipedia tienes la fórmula del área del casquete esférico
El área de un casquete de los que salen del cubo será
Área = 2·pi·R·h =
donde h será R - R·sen45º = R[1-sqrt(2)/2], luego
= 2·pi·R^2·[1-sqrt(2)/2] =
pi·R^2·[2-sqrt(2)]]
Y los casquetes que quedan fuera son 6, luego el área exterior será
6pi·R^2·[2-sqrt(2)]]
Luego el área que queda dentro será el área total de la esfera menos esta.
Área dentro = 4·pi·R^2 - 6pi·R^2·[2-sqrt(2)]] =
pi·R^2[6·sqrt(2) - 8] =
2·pi·R^2[3·sqrt(2) - 4]
Lo ponemos con el editor para que quede más claro:
$$\begin{align}&Área\; dentro=2·\pi·R^2(3·\sqrt 2 - 4)\approx\\ &\\ &0.4852813742\, \pi R^2 \approx 1.5245564 R^2\end{align}$$Y eso es todo.
