Calcular integrales indefinidas

La primera tiene un primer cambio de variable descarado que es

y =lnx

dy = dx/x

y la integral queda

$$\begin{align}&\int \frac{ydy}{\sqrt{1-4y - y^2}}=\\ & \\ & \\ & \text{Vamos a dejar lo mismo pero de otra forma}\\ & \\ & \\ & - \int \frac {(-y-2)dy}{\sqrt{1-4y - y^2}}-\int \frac {2dy}{\sqrt{1-4y - y^2}}=\\ & \\ & \\ & \text{La primera es inmediata. La segunda es un arcoseno}\\ & \\ & \\ & -\sqrt{1-4y -y^2}- \int \frac{2dy}{\sqrt{1-4y - y^2}}\end{align}$$

Para dejarlo en forma de derivada de un arcoseno hay que dejar

sqrt(1-4y-y^2) como sqrt{1-[f(y)]^2} o una constante multiplicada por eso

-(y+2)^2 = - 4 - 4y - y^2

-4y - y^2 = 4- (y+2)^2

sustituyendo tenemos

1-4y-y^2 = 1 +4 - (y+2)^2 = 5 - (y+2)^2 =

multiplicamos y dividimos por 5 y vamos a la integral

$$\begin{align}&\int \frac{2dy}{\sqrt{\frac{5}{5}[5-(y+2)^2]}}= \\ &\\ &\\ &\\ &2\int \frac{dy}{\sqrt 5 \sqrt{ \left [ 1-\frac{(y+2)^2}{5} \right ]}}=\\ &\\ &\\ &\\ &2 \int \frac{dy}{\sqrt 5 \sqrt{\left[  1- \left ( \frac{y+2}{\sqrt 5} \right )^2 \right ]}}\end{align}$$

En el integrando tenemos la derivada del arcoseno de la función de dentro del paréntesis,

Resumiendo

$$\begin{align}&-\sqrt{1-4y -y^2}-2arcsen \left (\frac{y+2}{\sqrt 5} \right )\\ &\\ &\\ &\\ &\text{Y deshaciendo el cambio y = lnx}\\ &\\ &\\ &\\ &-\sqrt{1-4lnx -(lnx)^2}-2arcsen \left (\frac{lnx+2}{\sqrt 5} \right )+C\end{align}$$

Son derivadas bastante complicadas, merecen ser respondidas cada una en una pregunta aparte. Si quieres que haga las otras manda cada una en una pregunta.