Ejercicio rectas n varias variables numero 2

Vamos, no le falta nada al ejercicio. Determina las ecuaciones de la recta tangente, normal, binormal, plano osculador, normal y rectificante de

r(t) = (cost, sent, tgt) en el punto donde t=0

El punto es

P = (cos0, sen0, tg0) = (1, 0, 0)

Calculamos la derivada primera

r'(t) = (-sent, cost, 1+tg^2(t))

r'(0) = (0, 1 , 1)

La recta es la que tiene ese vector director y pasa por P

Recta tangente: (1 , 0, 0) + t(0, 1, 1) = (1, t, t) para todo t€R

El plano normal es el perpendicular a la tangente, tiene por tanto vector director (0,1,1) y pasa por (1,0,0)

Plano normal: 0(x-1) + 1(y-0)+1(z-0) = 0 ; y + z = 0

El vector binormal tiene la dirección del producto vectorial r'(t) x r''(t)

Calculamos r''(t)

r''(t) = (-cost , -sent , 2tgt·(1+tg^2t))

r''(0) = (-1, 0, 0)

y el producto vectorial r'(0) x r''(0) es

| i j k |

| 0 1 1| = -j +k

|-1 0 0|

Es decir, el vector con la dirección de la binormal es (0, -1,1)

Recta binormal: (1, 0, 0) + t(0, -1, 1) = (1, -t, t) para todo t€R

El plano osculador es perpendicular a la binormal, luego su vector director es (0, -1, 1)

Plano osculador: 0(x-1) -1(y-0) + 1(z-0) = 0 ; -y + z = 0

Y el vector normal tiene la dirección del producto vectorial del binormal por el tangente

| i j k |

| 0 -1 1| = -2i

| 0 1 1|

Como no nos importa el sentido ni la magnitud tomemos (1,0,0) como representante de esa dirección

La recta normal sera la que tiene ese vector y pasa por P

Recta normal: (1, 0, 0) + t(1, 0, 0) = (1+t, 0, 0) para todo t € R

Y el plano rectificante es perperdicular a la normal luego tiene vector director(1,0,0) y pasa por P

Plano rectificante: 1(x-1) + 0(y-0) + 0(z-0)=0 ; x - 1 = 0

Y eso es todo.