Distribuciones de probabilidad multivariantes. 5,6 teoremas especiales.

Vamos a limitar el recinto de probabilidad no nula. Y1 la ponemos en el eje X, Y2 en el Y. ¡Cuánto ganaríamos si el autor hubiera llamado asi variables que no Y1 y Y2! Todo el rato escribiendo subíndices con el editor de ecuaciones, se hace lo más pesado de todo. Había unas lecciones en el libro de tercero de BUP que trataban de las cónicas y usaban las variables x1, x2 en lugar de x, y. Nunca entendí bien esas lecciones.

Tenemos un rectángulo de base 2 por 1 en el primer cuadrante y una recta que es la diagonal que pasa por el origen. Para saber si es la parte superior o la inferior tomamos el punto (2,0) que es inferior

2 · 0 <= 2

Se cumple. Luego la parte inferior es la que sirve.

Los límites serán:

0 <= y1 <= 2

0 <= y2 <= y1/2

a)

$$E(Y_1) = \int_0^2\int_0^{y_1/2}y_1dy_2dy_1=\\ \\ \\ \int_0^2[y_1y_2]_0^{y1/2}dy_1=\int_0^2 \frac{y_1^2}{2}dy_1=\\ \\ \\ \left[  \frac{y_1^3}{6}\right]_0^2=\frac 86 = \frac 43\\ \\ \\ \text{-------------------------}\\ \\ \\ \\ E(Y_2) = \int_0^2\int_0^{y_1/2}y_2dy_2dy_1=\\ \\ \\ \int_0^2\left[\frac{y_2^2}{2}\right]_0^{y1/2}dy_1=\int_0^2 \frac{y_1^2}{8}dy_1=\\ \\ \\ \left[  \frac{y_1^3}{24}\right]_0^2=\frac {8}{24}=\frac 13$$

b) Ya hemos hecho varios de este tipo, sabemos llegar perfectamente a que:

V(Y)=E(Y²) -[E(Y)]²

V(Y1) = E[(Y1)²] - 16/9

V(Y2) = E[(Y2)²] - 1/9

$$E(Y_1²) = \int_0^2\int_0^{y_1/2}y_1^2dy_2dy_1=\\ \\ \\ \int_0^2[y_1^2y_2]_0^{y1/2}dy_1=\int_0^2 \frac{y_1^3}{2}dy_1=\\ \\ \\ \left[  \frac{y_1^4}{8}\right]_0^2=\frac {16}{8}=2\\ \\ \\ \text{--------------------------}\\ \\ E(Y_2^2) = \int_0^2\int_0^{y_1^2/2}y_2^2dy_2dy_1=\\ \\ \\ \int_0^2\left[\frac{y_2^3}{3}\right]_0^{y1/2}dy_1=\int_0^2 \frac{y_1^3}{24}dy_1=\\ \\ \\ \left[  \frac{y_1^4}{96}\right]_0^2=\frac {16}{96}=\frac 16$$

Luego

V(Y1) = 2 - 16/9 = (18-16)/9 = 2/9

V(Y2) = 1/6 - 1/9 = (9-6)/54 = 3/54 = 1/18

Lo mando ya porque la página no hace mas que fallar, no sea que pierda todo el trabajo hecho. Espera que pueda terminar la pregunta.