Hallar la longitud de arco de 1/2(e^por+e^-x) en un intervalo de [0,2]

La fórmula de la longitud del arco de una función en un intervalo [a, b] es

$$\begin{align}&l=\int_a^b \sqrt{1+(f´(x))^2}dx\\ &\\ &f(x)=\frac {e^x+e^{-x}}{2}\\ &\\ &\\ &f´(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ &\\ &\\ &\\ &(f'(x))^2= \frac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{4}\\ &\\ &\\ &\\ &l=\int_0^2 \sqrt{1+\frac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{4}}dx =\\ &\\ &\\ &\int_0^2 \sqrt{\frac{4+e^{2x}+e^{-2x}-2}{4}}dx =\\ &\\ &\\ &\int_0^2 \sqrt{\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{4}}dx =\\ &\\ &\\ &\int_0^2 \sqrt{\frac{(e^{x}+e^{-x})^2}{4}}dx =\\ &\\ &\int_0^2 \frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\\ &\\ &\frac 12\left[e^x-e^{-x}  \right]_0^2=\frac 12(e^2-e^{-2}-1+1)=\\ &\\ &\frac {e^2-e^{-2}}{2}=sh2\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

sh2 es el seno hiperbólico de 2, si no has dado esa función todavía olvídate de ella y quedate con la expresión anterior.

El valor aproximado es

l = 3.626860408