Matmaticas Integrales Múltiples

b)

Pues si se refería solo al primer octante sobra el 2 que ponía delante, y el área será la mitad de lo que calculé, será 16/3.

Yo toda mi vida desde los 17 años he hecho esa integral con el cambio trigonométrico. Se que se podría hacer con la segunda o tercera sustitución de Euler, pero es mucho más complicado de recordar y de hacerlo creo que también.

Lo que no entiendo es porque cambias los límites de integración de mayor a menor. O eso me parece que haces porque hay algún símbolo que no aparece. De todas formas al cambiarlos dos veces se conserva el signo.

c) Pues no me dejan ver las preguntas ya resueltas. Están aún no lo estaban, creo.

No entiendo que quieres decir con:

"Yo te puse dos puntos, permíteme que lo haga asi por favor y me los respondes por separado asi hago dos evaluaciones."

Yo contestaré un ejercicio por pregunta si quieres que responda los dos tienes que mandar dos veces la pregunta.

Con respecto a las gráficas 3D. Para que el programa que tengo las pueda dibujar tienen que ser funciones de x, y, tengo que poder expresarlas como z = f(x, y). Entonces el plano

2x+ y-4=0 que dices no puedo dibujarlo por ejemplo, o los cilindros que crecen hacia arriba tampoco. Y a veces son tantos los planos, cilindros y figuras que no se ve nada.

Como te decía, el plano 2x +y - 4 = 0 es un plano vertical.

El corte con el plano z=0 es la recta 2x+y-4 = 0 del plano

y = 4 - 2x, que corta a los ejes en (0,4) y (2,0)

Al estar en el primer octante también esta limitado por los planos x=0, y=0, z=0.

Luego la figura es un prisma triangular y la falta el techo que es el que la dará el plano

8x+y-4z=0

que puesto como función de x,y es

z =(8x+y)/4

Luego esa es la función que debemos integrar en el triangulo que se formaba en la base con la recta que decíamos y los ejes

x € [0, 2]

y € [0, 4-2x]

$$\begin{align}&V=\frac 14\int_0^2\int_0^{4-2x} (8x+y)\, dy\,dx=\\ &\\ &\frac 14\int_0^2\left[8xy+ \frac{y^2}{2}  \right]_0^{4-2x}dx=\\ &\\ &\\ &\frac 14\int_0^2\left( 32x-16x^2 +8- 8x+2x^2 \right)dx =\\ &\\ &\\ &\frac 14\int_0^2\left( -14x^2 +24x+8 \right)dx =\\ &\\ &\frac 14 \left[ -\frac{14}{3}x^3+12x^2+8x \right]_0^2=\\ &\\ &\frac 14 \left( -\frac{112}{3}+48+16 \right)=\\ &\\ &\frac 14·\frac{-112+144+48}{3}= \frac {80}{12}= \frac{20}{3}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.