Pregunta sobre VPN, matemáticas financieras

Se trata de un problema de rentas donde debemos conocer el interés. No existe fórmula puesto que el calculo del interés da lugar a ecuaciones de grado el número de cuotas de la renta mas uno. Hasta el grado dos pueden hacerse por las personas, pero en la practica supone que solo se puede calcular el ínteres cuando hay una solo cuota. Para los grados 3 y 4 existen fórmulas, pero no nos engañemos, son impracticables. Y para el grado 5 y superiores no existen fórmulas. Esto no quiere decir que se puedan calcular los valores con métodos numéricos de aproximación, tablas que hay en algunos libros viejos; o lo mejor de todo, con el ordenador, con el cual se puede obtener una aproximación que no desmerece la que sería la respuesta real que es incalculable.

Las fórmulas que se usan son las del valor actual de rentas pospagables inmediatas y diferidas.

Para la pospagable inmediata, la que se empieza a pagar dentro de un mes es esta

$$V_0=c\times \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$$

Donde Vo es el valor actual, c la cuota periódica, i el interés del periodo y n el número de periodos.

El valor de la pospagable diferida se calcula aplicando la valoración en el tiempo del capital la inmediata

$$V_t= V_0(1+i)^t$$

Si se empieza a pagar d periodos más tarde del primero se traduce en

$$V_t=c\times \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}(1+i)^{-d}$$

Y ya solo tenemos que sustituir datos y resolver las ecuaciones

$$V_0=c\times \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\\ \\ 5000000=530000\times  \frac{1-(1+i)^{-12}}{i}\\ \\ 500 = 53\times \frac{1-(1+i)^{-12}}{i}\\ \\ 500i = 53 - 53(1+i)^{-12}\\ \\ \text{Si llamamos }x=(1+i)^{-1}\\ \\ x=\frac{1}{1+i}\\ \\ 1+i = \frac 1x\\ \\ i = \frac 1x-1\\ \\ i = \frac{1-x}{x}\\ \\ \text{Y la ecuación queda}\\ \\ \frac{500(1-x)}{x}=53 -53x^{12}\\ \\ 500-500x = 53x - 53x^{13}\\ \\ 53x^{13}-553x+500=0\\$$

Calculadas las raíces con Máxima mediante

allroots(53*x^13-553*x+500);

obtenemos estas soluciones

x=1.0

x=0.61484057340738*%i-1.10926811225144

x=-0.61484057340738*%i-1.10926811225144

x=-1.271482874775455

x=0.96236602007185

x=1.085538579352285*%i+0.53529649500708

x=0.53529649500708-1.085538579352285*%i

x=1.067228930814221*%i-0.66648933982044

x=-1.067228930814221*%i-0.66648933982044

x=1.238448526107048*%i-0.063227852225845

x=-1.238448526107048*%i-0.063227852225845

x=0.65246831226768*%i+0.95824723664246

x=0.95824723664246-0.65246831226768*%i]

De la cuales hay 10 complejas y tres reales.

De las reales tenemos

1) x=1.0

i = 1/x- 1 = 1/1 - 1 = 1-1 = 0
i=0
Con lo cual habría un 0 en el denominador de la fórmula del valor actual, y de esas situaciones surgen todo tipo de paradojas matemáticas encubiertas que son equivalentes al multiplícate por cero que dice así
0a = 0b
luego
a=b
luego es una respuesta que no sirve para nuestro problema

2) x=-1.271482874775455

i = 1/(-1.271482874775455) - 1 = -1.786483263

esto serían unos intereses mensuales de -178.65 %

es algo que no se corresponde a la realidad de nuestro ejercicio

3) x=0.96236602007185

Esta es la que sirve.

i = 1/0.96236602007185 -1 = 1.039105682 - 1 = 0.0391...

Eso es una tasa mensual del 3.91%

que corresponde a una tasa anual nominal del 12 · 3,91 = 46.93%

mientras que la tasa efectiva anual sería

(1.029105682)^12 -1 = 0.584589, el 58.46%

Y para la segunda forma de pago donde los periodos de diferimiento son 2 la fórmula del valor actual de la renta diferida es

$$\begin{align}&V_t=c\times \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}(1+i)^{-d}\\ &\\ &5000000=550000 \frac{1-(1+i)^{-12}}{i}(1+i)^{-2}\\ &\\ &100=11 \frac{1-(1+i)^{-12}}{i}(1+i)^{-2}\\ &\\ &100i = 11(1+i)^{-2}-11(1+i)^{-14}\\ &\\ &\text{de nuevo hacemos el cambio}\\ &\\ &x=(1+i)^{-1}\quad\quad i=\frac {1-x}{x}\\ &\\ &\frac {100(1-x)}{x}=11x^2-11x^{14}\\ &\\ &100-100x = 11x^3 - 11x^{15}\\ &\\ &11x^{15}-11x^3-100x+100=0\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y lo resolvemos con Máxima

allroots(11*x^15-11*x^3-100*x+100);

y nos da

x=0.96605281212372*%i+0.6563010249838

x=0.6563010249838-0.96605281212372*%i

x=0.92872515677968*%i-0.77461477585038

x=-0.92872515677968*%i-0.77461477585038

x=1.151254817187571*%i-0.31443008860324

x=-1.151254817187571*%i-0.31443008860324

x=0.96710749764782

x=-1.229299306829703

x=0.52152559105347*%i-1.107014031307916

x=-0.52152559105347*%i-1.107014031307916

x=1.166443764073977*%i+0.18939037121854

x=0.18939037121854-1.166443764073977*%i

x=1.0

x=0.56896863196651*%i+0.98146340415015

x=0.98146340415015-0.56896863196651*%i

De las respuestas reales rechazamos como antes la x=1.0 y la x=-1.229299306829703 y nos quedamos con esta

x=0.96710749764782

i = 1 / 0.96710749764782 - 1 = 1.034011216 - 1 = 0.034011216

Lo cual es una tasa de interés mensual del 3.40% que es menor que la otra que era 3.91%

Esto nos da una tasa nominal anual del 40.81% frente al 46.93% y es una TAE de 49.38% frente al 58.46% anterior

Luego la mejor opción es esta segunda, la de pagar 12 cuotas mensuales de 550000 siendo la primera al final del tercer mes.