Las derivadas de las funciones

La integral del coseno hiperbólico no tiene ninguna dificultad, las funciones hiperbólicas son aun mas sencillas de derivar que las trigonométricas

sh'(x) = chx

ch'(x) = shx

Luego la integral es el seno hiperbólico.

Y la de la secante ya la hice otro día. Pero no me gusto como quedó porque use el cambio

t=tg(x/2) y los resultados quedaron en función del ángulo mitad y eso a mi no me gusta. Hoy la resuelvo de otra forma.

$$\begin{align}&\int (chx+secx)dx = shx+\int \frac{dx}{cosx}=\\ &\\ &t= tgx  \quad\quad dt = (1+tg^2x)dx= (1+t^2)dx\\ &\\ &dx = \frac{dt}{1+t^2}\\ &\\ &\text{Y la teoría de este cambio dice}\\ &\\ &cosx= \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\\ &\\ &\text{se puede comprobar ya que entonces sería}\\ &\\ &tgx=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{1+t^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}=  \frac{\sqrt{\frac{t^2}{1+t^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}=t\\ &\\ &\\ &=shx+\int \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}·\frac{dt}{1+t^2}=\\ &\\ &shx+\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\\ &\\ &shx+argsh\,t+C=\\ &\\ &shx + argsh(tgx)+C =\\ &\\ &shx + ln\left(tgx+\sqrt{1+tg^2x}\right)+C=\\ &\\ &shx + ln(tgx+secx)+C\end{align}$$

He usado bastante teoría sobre las funciones hiperbólicas. Si no la tienes aquí hay bastante.

Funciones hiperbólicas

Y eso es todo.