Probar que para todo n natural y por inducción matemática

$$3^{2n+2}+2^{6n+1}$$

Es un múltiplo de 11

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Imagino que este será similar al que acabo de mandarte.

Comprobamos que se cumple para n=1

3^4 + 2^7 = 81 + 128 = 209 = 11·19 luego se cumple

Y demostramos que si se cumple para n se cumple para n+1

La expresión para n+1 es

3^[2(n+1)+2] + 2^[6(n+1)+1] =

3^(2n+2+2) + 2^(6n+6+1) =

Tal como hicimos antes, sacaremos fuera todo lo que sobre en los exponentes para que queden como si fueran los de la expresión para n

= 3^2 · 3^(2n+2) + 2^6 · 2^(6n+1) =

9 · 3^(2n+2) + 64 · 2^(6n+1) =

Ahora descomponemos los términos que se pueda en sumas de dos que forma que una sea un múltiplo de 11 que luego puede quitarse a efectos de comprobar la divisibilidad por 11

= 9 · 3^(2n+2) + 55 · 2^(6n+1) + 9 · 2^(6n+1)

quitamos el término 55· 2^(6n+1) que es múltiplo de 11 y no s queda

9 · 3^(2n+2) + 9 · 2^(6n+1) =

9[3^(2n+2) + 2^(6n+1)]

Y lo puesto entre corchetes es la expresión para n que es múltiplo de 11 por hipótesis de inducción, luego la expresión para n+1 es múltiplo de 11 y queda demostrado el enunciado.

Tus explicaciones claras y sencillas

Te lo agradezco

Para contestar el comentario de Patricio.

La segunda parte de la demostración por inducción es siponer que se cumple para n y entonces decudir que se cumple para n+1

Luego supongamos que se cumple para n

3^(2n+2) + 2^(6n+1) = 11k

9[3^(2n+2) + 2^(6n+1) = 11(9k)

9 · 3^(2n+2) + 55 · 2^(6n+1) + 9 · 2^(6n+1) = 11·(9k)+ 55· 2^(6n+1)

9 · 3^(2n+2) + 55 · 2^(6n+1) + 9 · 2^(6n+1)= 11[9k+11·2^(6n+1)]

9 · 3^(2n+2) + 64 · 2^(6n+1)= 11[9k+11·2^(6n+1)]

3^2 · 3^(2n+2) + 2^6 · 2^(6n+1) = 11[9k+11·2^(6n+1)]

3^(2n+2+2) + 2^(6n+6+1) = 11[9k+11·2^(6n+1)]

3^[2(n+1)+2] + 2^[6(n+1)+1] = 11[9k+11·2^(6n+1)]

Luego la expresión para n+1 es múltiplo de 11.

Pero es que es redundante y diría que una perdida de tiempo hacer lo mismo que ya se hizo al revés, por eso no se hace y entre matématicos se sabe cuando se puede dar la vuelta a la cadena de razonamientos o cuando no.

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