La integral de

Esta integral es inmediata. Se deduce pensando que la integral del cos es el sen, luego la integral tendrá sen(5x). Y luego hay que pensar que al derivar se multiplica por la derivada de lo dentro del seno, al ser 5x la derivada es 5. Y vemos que con ese 5 de factor nos da exacta la función que debemos integrar. Es decir, mentalmente vemos que:

sen(5x)' = cos(5x)·5 = 5cos(5x)

luego ya lo tenemos, la integral es

sen(5x) + C

Y eso es todo.