Análisis matemático, desigualdad triangular

Para probarlo por inducción comenzaremos probándolo para n=1

||x1|| <= ||x1||

Es obvio porque son iguales.

Y ahora supongamos que se cumple para k y lo demostramos para k+1

$$\begin{align}&||x_1+x_2+···+x_k+x_{k+1}|| =\\ &||(x_1+x_2+···+x_k)\;+\;x_{k+1}||\le\\ &\\ &\text{por la propiedad que deben cumplir las normas}\\ &\\ &||(x_1+x_2+···+x_k)||+||x_{k+1}|| \le\\ &\\ &\text{por la hipotesis de inducción para k}\\ &\\ &||x_1||+||x_2||+···+||x_{k+1}||\\ &\end{align}$$

Luego se cumple para k+1 y con esto queda demostrada la inducción.

Y eso es todo.