Problemas III

1)
Recordaras que en el problema del octaedro e icosaedro calculábamos la altura de un triángulo equilátero conociendo la arista. Aque el problema es el inverso, conocemos el apotema, que es como la altura de cada uno de los 6 triángulos equileteros que forman un hexágono y queremos calcular la arista.
La solución es la de siempre, dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos al trazar la altura (apotema en este caso) la hipotenusa es la arista y el cateto menor es media arista. Aplicaríamos el teorema de Pitágoras.
Para no liarnos llamemos b a la arista y a al apotema,
a^2 + (b/2)^2 = b^2
a^2 = b^2 - (b^2)/4 = (3/4)b^2
b^2 = (4/3)a^2
extrayendo raices cuadradas
b = 2a/sqrt(3)
el apotema lo conociamos
b = 2 · 8,65 / sqrt(3) = 17,3 / sqrt(3)
Y el perimetro es 6b = 103,8 / sqrt(3)
Llamemos h a la altura del prisma
El area lateral es el perímetro por la altura
720 = [103,8/sqrt(3)] h
h = 720sqrt(3)/103,8 = 12,014225 cm
2)
Si el cuadrado base tiene un área de 144 cm, la arista de la base medirá la raíz cuadrada de eso.
Arista base = sqrt(144) = 12
Y el perímetro de la base será 4 · 12 = 48 cm
El área lateral es este perímetro por la arista lateral (h), luego
1488 = 48h
h = 1488 / 48 = 31 cm
Y eso es todo.