Como te decía en la pregunta anterior, esto excede lo que yo recuerdo de álgebra lineal. Tendrías que decirme el libro que usáis.
Un transformación lineal en el plano es
f(x,y) = (ax+by, cx+dy)
y f debe tener la misma imagen para tres puntos (x,y), (z,t) (r,s)
ax + by = az + bt = ar+bs
cx + dy = cz + dt = cr+ds
(x-z)a + (y-t)b =0
(x-r)a + (y-s)b =0
esto tiene la solución a=b=0
pero entonces la función sería f(x,y) = (0, cx+dy)
Que podemos ver en el dibujo que no puede ser el vector imagen.
Debe ser irregular la matriz para poder tener otras respuestas
(x-z)(y-s) - (y-t)(x-r) =0
Por parte de c y d los coeficientes de la ecuación son iguales, luego debe suceder lo mismo.
Supongamos que (x, y), (z, t) son dos vectores cualesquiera, la condición quedará de la forma
(x-z)y - (x-z)s - (y-t)x + (y-t)r = 0
Eso es la ecuación de una recta en s y r luego hay infinitas respuestas.
No sé qué más puede hacerse, sin la teoría no se me ocurre más.