Calcular el volumen sólido al girar la región limitada por la curvas alrededor del eje y

Calculé el área de la región

$$y=4x^2, y=x^2+3$$

y me dio el resultado de

$$\int(-3+3x^2)dx=x^3-3x+C=\int^1_{-1}(-3+3x^2)dx=-4$$

pero me piden calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje y

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1 Respuesta

5.857.100 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Como ya es habitual cuando te piden que gire respecto a un eje te dan las ecuaciones que no sirven

En este caso por girar respecto ae eje Y las ecuaciones deben ser de la forma x=f(y)

y=4x^2 ==> x = +- sqrt(y/4)

y=x^2+3 ==> x = +- sqrt(y-3)

Se comprueba fácilmente que los puntos de intersección de las dos curvas son

(-1, 4) y (1,4)

ya que

4(1)^2=4 y 1^2+3=4

4(-1)^2= 4 y (-1^2)+3=4

La función x=sqrt(y/4) entre y=0 e y=4 nos dará el volumen total al que habrá que restar el volumen del hueco que nos da la función x=sqrt(y-3)

$$\begin{align}&V_T=\pi\int_0^4 \sqrt{\frac y4}dy=\pi \frac 12\int_0^4y^{\frac 12}dy=\\ &\\ &\\ &\pi \frac 12\left[\frac 23 y^{\frac 32}  \right]_0^4=\frac{8\pi}{3}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &V_H=\pi\int_3^4 \sqrt{y-3}dy=\\ &\\ &\pi \frac 23\left[(y-3)^{\frac 32}  \right]_3^4=\\ &\\ &\frac {2\pi}3(1-0)=\frac{2\pi}{3}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &V=\frac{8\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}=2\pi\end{align}$$

Y eso es todo.

Muchas gracias.

Espera. No lo puntúes todavía que lo hice mal, se me olvidó que hay que elevar la función al cuadrado.

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