Intersección de curvas ejercicio 10
hola valeroasm! Tengo el siguiente ejercicio y me piden calcular las rectas para la función dada, es el numero 10: como es la intersección, no he podido visualizar eso, no tengo programas para hacerlo.
muchas gracias.
1 Respuesta
No es necesario hacer la gráfica, con tal tengas la ecuación de la curva intersección puedes calcular lo que te piden
Las superficies son
z = x^2
z = y^2
Llama t a cualquiera de las variables, a la x por ejemplo
z=t^2
t^2 = y^2 ==> y = +-t
Entonces la ecuación paramétrica de la intersección tiene dos ramas
r1(t) = (t, t, t^2)
r2(t) = (t, -t, t^2)
Como nos dicen que el punto (1,1,1) pertenece a la intersección es la primera de las dos la que necesitamos.
Luego considera la curva
f(t) = (t, t, t^2)
Y se calcula lo que piden, tangente, normal y binormal
Si sabes hacerlo bien, si no tendrás que esperar unas horas que ya dejo el ordenador.
que es no se que formulas utilizar para la recta tangente, la recta normal ( que no se si es lo mismo que el plano normal) y la recta binormal ( ¿es igual que el plano binormal?) ayudame a aclarar esta duda porque sino no puedo finalizar el ejercicio. como sigo, dime.
La función es f(t) = (t, t, t^2)
el punto (1,1,1) se obtiene cuando t=1, luego para t=1 habrá que calcular las derivadas
Calculamos la derivada primera y segunda
f '(t) = (1,1, 2t)
f ''(t) = (0, 0, 2)
El vector tangente en t=1 es
f '(1) = (1, 1, 2)
Luego la recta tangente será
Recta tangente: (1,1,1)+t(1,1,2) = (1+t, 1+t, 1+2t)
El plano normal es perpendicular a la recta tangente tiene el vector tangente como director
Plano normal: 1(x-1) +1(y-1) + 2(z-1) = 0 ; x + y + z -4 = 0
El vector binormal es paralelo al producto vectorial f '(1) x f ''(1)
| i j k|
| 1 1 2| = 2i -2j
| 0 0 2|
Eso es (2, -2, 0) pero mejor tomamos el (1, -1, 0) que es paralelo
Recta binormal: (1,1,1) + t(1,-1,0) = (1+t, 1-t, 1)
Plano osculador: 1(x-1)-1(y-1)+0(z-1) = 0 ; x - y = 0
Y el vector normal es paralelo al producto vectorial del binormal por el tangente o el de paralelos a estos.
| i j k|
| 1 -1 0| = -2i -2j +2k
| 1 1 2|
Tomamos (1,1,-1) como paralelo representante
Recta normal: (1, 1, 1) + t( 1,1,-1) = (1+t, 1+t, 1-t)
Plano rectificante: 1(x-1)+1(y-1)-1(z-1) = 0 ; x+y+z -1 = 0
Y eso es todo.
