Limite de una función

el enunciado dice lo siguiente: Dada

$$\begin{align}&f(x)=\sqrt{5x+1}\\ &\end{align}$$

, hallar

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

para

$$x>-\frac{1}{5}$$

RESPUESTAS POSIBLES:

a) 0

b)

$$\infty$$

c)

$$\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}$$

d)

$$\frac{1}{5x+1}$$
1

1 respuesta

Respuesta
1

Si ya has dado las derivadas, verás que ese límite es la definición de la derivada de la función f y sabrás cuál es la respuesta.

Pero de todas formas lo resolveremos por los métodos de los límites.

$$\begin{align}&\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{5(x+h)+1}-\sqrt{5x+1}}{h}=\\ &\\ &\\ &\text{Como casi todos de este tipo se resuelve multiplicando}\\ &\text{y dividiendo por el conjugado}\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{5(x+h)+1}-\sqrt{5x+1})(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}{h(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\text {Aplicamos que } (a-b)(a+b)= a^2-b^2\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)+1-(5x+1)}{h(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{5h}{h(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{5}{(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\text{Y como h tiende a cero, los dos sumandos del}\\ &\text{denominador se hacen iguales quedando}\\ &\\ &\\ &\frac{5}{2 \sqrt{5x+1}}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Luego la respuesta correcta es la c)

Y eso es todo.

Muchísimas gracias...pensaba que los límites los llevaba bien pero me había atrancado en algo que, gracias a tu explicación, ahora se ve muy simple.

Un saludo!

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