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Lo demostraremos por inducción.
Primero lo probamos para un conjunto de números naturales con un solo elemento {n}.
Tiene máximo, es el mismo n
Supongamos que todo conjunto de n elementos tiene máximo y probaremos que lo tiene un conjunto de n+1 elementos
Tomaremos el conjunto como unión de un conjunto cualquiera de n elementos y y el otro elemento suelto.
El conjunto de n elementos tendrá un máximo por hipótesis. Si ese máximo es mayor que el elemento suelto será el máximo de la unión de los dos conjuntos. Y si no lo es, tomaremos como máximo el elemento suelto. Sea como sea tendremos el elemento máximo de los n+1 elementos del conjunto.
Luego queda probada la inducción y para cualquier conjunto finito de orden n tenemos un máximo.
Y eso es todo.
