Problema de independencia lineal
Demuestra por qué la siguiente aseveración es cierta, o por qué es falsa:
x = { h1 + h2 +h3}
x es un espacio vectorial y h1 , h2 , h3 son sus vectores.
Se hace la siguiente afirmación:
Si x = { h1 + h2 +h3 } es un conjunto linealmente independiente
Entonces:
{ h1 + h2 , h2+h3 , h1 + h3 } es un conjunto linealmente independiente
1 Respuesta
Creo que unos errores con la notación, será
Sea x = {h1, h2, h3} un conjunto linealmente independiente. Entonces
{h1 + h2 , h2+h3 , h1 + h3 } es un conjunto linealmente independiente.
Sabemos que dado un conjunto linealmente independiente podemos sumar a un vector los otros multiplicados por alguna constante y el conjunto resultante sigue siendo linealmente independiente. También podemos multiplicar un vector por una constante distinta de cero y se mantiene la independencia lineal.
Y esto podemos verlo de otra forma. Si a un conjunto de vectores le hacemos operaciones de ese tipo y el resultado es un conjunto linealmente independiente, entonces el conjunto inicial era linealmente independiente. Ya que al conjunto final linealmente independiente le hacemos las operaciones inversas y llegamos al inicial, con lo cual el inicial es linealmente independiente.
La idea es conseguir que mediante operaciones de ese tipo lleguemos al conjunto {h1, h2, h3}
Entonces al primero le restaremos el segundo
h1+h2 - h2- h3 = h1-h3
ahora le sumaremos el tercero
h1 - h3 + h1 + h3 = 2h1
Y ahora lo dividimos entre 2
2h1/ 2 = h1
Ya tenemos el primer elemento transformado en h1, el conjunto ahora es
{h1, h2 + h3, h1+h3}
al tercero le restamos el primero y queda
{h1, h2+h3, h3}
y finalmente restamos el tercero al segundo
{h1, h2, h3}
Hemos llegado a un conjunto que por hipótesis es linealmente independiente, luego el conjunto de partida {{h1 + h2 , h2+h3 , h1 + h3 } también lo es.
Y eso es todo.
