Ayuda con las siguientes series.
a). Mostrar que si entonces converge absolutamente
b) examinar la convergencia de
1 Respuesta
Para 0 <= x < 1 podemos usar el criterio de D'Alambert para series positivas.
$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{10000}x^{n+1}}{n^{10000}x^n}=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{10000}x}{n^{10000}}=\\ &\\ &\\ &x·\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{10000}}{n^{10000}}=\\ &\\ &\\ &x·\lim_{n\to\infty}\frac{n^{10000}+10000n^{9999}+\binom{10000}{2}n^{9998}+···+1}{n^{10000}}=\\ &\\ &x·\lim_{n \to\infty}\left(1+\frac{10000}{n}+\frac{\binom{10000}{2}}{n^2}+...+\frac{1}{n^{10000}} \right)=\\ &\\ &x(1+0+0+···+0) = x\end{align}$$Y el criterio de D'Alambert dice que la serie converge si ese límite es menor que 1, luego converge si x<1
Y si -1 < x <=0 los términos de la serie son alternados pero son los mismos en valor absoluto que se obtienen para |x|. Esta serie con todo términos positivos acabamos de estudiar que es convergente, luego la de términos alternados es absolutamente convergente.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Solo se admite un ejercicio por pregunta cuando ya son de cierto nivel. Mándame el otro en otra pregunta si quieres.
hola.el punto a. me quedo muy claro pero por favor ayudame con la otra serie no e podido resolverla muchas gracias.
Si, pero puntúa la respuesta que te he dado, con 5 por supuesto, y mándame otra pregunta con la otra serie. No puedo hacer muchos ejercicios complicados en la misma pregunta para obtener una sola puntuación, trabajaría mucho y no avanzaría nada.
