Si la integral de una función es

Partimos de las fórmulas habituales

sen(a+b) = sena·cosb + cosa·senb

haciendo b=a tenemos

sen(a+a) = sena·cosa + cosa·sena

sen(2a) = 2sena·cosa

y partiendo de

cos(a+b) = cosa·cosb - sena·senb

haciendo b=a y haciéndolo todo en un paso llegamos a

cos(2a) = cos^2(a) - sen^2(a)

Con lo cual la tangente será el cociente de las dos, pero usaremos el editor que vamos a llegar a poner varios denominadores

$$\begin{align}&tg(2a)=\frac{sen\,2a}{\cos 2a}=\frac{2sena·cosa}{\cos^2a-sen^2a}=\\ &\\ &\text{Dividimos numerador y denominador entre }\cos^2a\\ &\\ &=\frac{\frac{2sena·cosa}{\cos^2a}}{\frac{\cos^2a-sen^2a}{\cos^2a}}=\frac{\frac{2sena}{cosa}}{1-\frac{sen^2a}{\cos^2a}}=\frac{2\,tga}{1-tg^2a}\end{align}$$

Y eso es todo.