La derivada de la función x

Es la segunda vez en mi vida que oigo eso del triángulo asociado, y no sé lo que es ni lo encuentro. Dime el libro donde sale o dime qué es, porque yo no tengo ni idea.

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2-9}}=\\ &\\ &x=3sect\\ &dx= 3sect·tgt\,dt\\ &t=arcsec \frac x3\\ &\\ &=\int \frac{3sect·tgt}{9sec^2t \sqrt{9sec^2t-9}}dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{tgt}{3sect \sqrt{9sec^2t-9}}dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{tgt}{9sect \sqrt{\frac{1}{\cos^2t}-1}}dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{tgt}{9sect \sqrt{\frac{1-\cos^2t}{\cos^2t}}}dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{tgt}{9sect \sqrt{\frac{sen^2t}{\cos^2t}}}dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{tgt}{9sect·tgt}dt=\\ &\\ &\\ &\frac 19\int \frac{dt}{sect}=\\ &\\ &\\ &\frac 19\int cost\,dt= \\ &\\ &\\ &\frac 19 sent+C =\\ &\\ &\\ &\frac 19 sen\left(arcsec \frac x3\right)+C=\\ &\\ &\\ &\frac 19 sen\left(arcos \frac 3x\right)+C=\\ &\\ &\\ &\frac 19 sen\left(arcsen \sqrt{1-\frac {9}{x^2}}\right)+C=\\ &\\ &\\ &\frac 19 \sqrt{1-\frac{9}{x^2}}+C \\ &\\ &\text{o si se prefiere}\\ &\\ &\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.